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Funciones hiperbólicas y fórmulas de suma: cálculos y ejemplos

Publicado el 1 noviembre, 2020

Funciones hiperbólicas

A veces, un concepto puede parecer extremadamente abstracto y, sin embargo, ser realmente fácil. Por ejemplo, la hipotenusa de un triángulo rectángulo es solo el lado más largo. Y una hipótesis es una suposición fundamentada.

Para evitar ser hiperactivos a medida que extendemos nuestro hiper vocabulario, procederemos paso a paso para explorar la idea de funciones hiperbólicas. Estas funciones aparecen todo el tiempo en aplicaciones de ingeniería y ciencia que involucran ondas, ¡así que aprendamos más!

En esta lección definimos las dos funciones hiperbólicas básicas y luego mostramos cómo estas dos pueden conducir a otras cuatro funciones hiperbólicas. Además, veremos la función hiperbólica de la suma de dos números.

Algunas funciones hiperbólicas básicas

Sinh

El seno hiperbólico es sinh (pronunciado ‘sinch’). Podemos evaluar esta función usando:

sinh (a) = (e ^ ae ^ -a) / 2

Por ejemplo, el sinh (2):

sinh (2) = (e ^ 2-e ^ -2) /2=3.6269

Igualmente,

sinh (1) = (e ^ 1-e ^ -1) /2=1.5431

Aporrear

Al igual que el seno y el coseno, tenemos sinh y cosh . La definición de cosh:

cosh (a) = (e ^ a + e ^ -a) / 2

¿Estás de acuerdo con lo siguiente?

cosh (2) = 3.7622

y

cosh (1) = 1,5431

Tanh

¿Recuerda que la tangente es el seno sobre el coseno? Bueno, la tangente hiperbólica, tanh (pronunciar ” tanch ”) es:

tanh (a) = sinh (a) / cosh (a)

Y esta idea continúa para las otras funciones hiperbólicas:

Cotangente, Sech y Csch

La cotangente hiperbólica:

coth (a) = 1 / tanh (a) = cosh (a) / sinh (a)

La secante hiperbólica, sech :

sech (a) = 1 / cosh (a) = 2 / (e ^ a + e ^ -a)

Y la cosecante hiperbólica, csch :

csch (a) = 1 / senh (a) = 2 / (e ^ ae ^ -a)

Funciones hiperbólicas de a + b

Al igual que el seno de la suma de dos números, tenemos un seno hiperbólico de la suma de dos números:

sinh (a + b) = sinh (a) cosh (b) + cosh (a) sinh (b)

También hay uno para el cosh:

cosh (a + b) = cosh (a) cosh (b) + sinh (a) sinh (b)

¿Qué pasaría si quisiéramos verificar estos resultados utilizando la definición básica de sinh y cosh?

Veamos cómo podríamos hacer esto para cosh ( a + b ). Comencemos por el lado derecho (RHS):

RHS_of_cosh (a + b)

Ahora, sustituimos esas definiciones exponenciales por sinh y cosh:

RHS_of_cosh (a + b) _escrito_en_términos_de exponenciales

Ampliando los productos:

expandiendo_los_productos

¿Ves cómo se cancelarán los términos “azules”? Lo mismo sucede con los términos “verdes”. Esto nos deja con:

cancelling_terms

Los 2 se cancelan con el 4 dejando un 2 en el denominador. Además, – ab se escribe como – ( a + b ):

RHS = (e ^ (a + b) + e ^ (- ab)) / 2

¿Qué pasa si sustituimos u por a + b :

DERECHA = (e ^ u + e ^ -u) / 2

Pero así es como definimos cosh. Así,

RHS = cosh (u)

Y, u es a + b :

RHS = cosh (a + b)

que es lo mismo que el lado izquierdo de la fórmula cosh ( a + b ). Por tanto, hemos verificado la expresión cosh ( a + b ). Si quisiéramos, podríamos usar este mismo método para verificar la expresión sinh ( a + b ).

Práctica con los números

Probemos estos resultados con un ejemplo numérico calculando sinh (3) de dos maneras. Usando nuestra definición exponencial de sinh y una calculadora obtenemos:

sinh (3) = 10.0179_approx_10.018

Por conveniencia, los resultados de la calculadora se escriben como números con cuatro lugares decimales. Después de hacer los cálculos de producto y suma, aproximaremos el resultado con solo 3 lugares decimales para permitir errores de redondeo.

Entonces, la respuesta final para sinh (3) es 10.018.

¿Qué pasa si pensamos que 3 es la suma de 2 y 1. Entonces, podemos usar la fórmula sinh ( a + b ):

sinh (2 + 1) = 10.018_usando_la_fórmula

Tenga en cuenta que usamos cálculos anteriores de sinh y cosh sustituidos en la fórmula para el seno hiperbólico de la suma de dos números. El 10.0180 se redondea a 10.018 tal como lo hicimos cuando calculamos sinh (3) directamente.

Probablemente vea cómo podríamos escribir la suma hiperbólica de números para otras funciones hiperbólicas dada la forma en que se definen tanh, sech y csch. Por ejemplo, la tangente hiperbólica de la suma de dos números:

tanh (a + b) = sinh (a + b) / cosh (a + b)

Una vez que hemos calculado sinh ( a + b ) y cosh ( a + b ), podemos encontrar tanh ( a + b ) dividiendo sinh ( a + b ) entre cosh ( a + b ).

Ahora tenemos otro concepto en nuestra hiperlista de herramientas matemáticas súper útiles.

Resumen de la lección

Las funciones hiperbólicas incluyen

  • el seno hiperbólico, sinh , y el coseno hiperbólico, cosh . Estas funciones se definen con exponenciales. La razón de sinh a cosh es la tangente hiperbólica, tanh .

Asimismo, la cotangente hiperbólica, coth , es la recíproca de tanh, mientras que la secante hiperbólica, sech , es la recíproca de cosh. Dejándonos con la cosecante hiperbólica, csch , que es el recíproco de sinh.

Al igual que con las funciones trigonométricas habituales, existe una expresión de función hiperbólica para la suma de dos números. Son:

sinh (a + b) = sinh (a) cosh (b) + cosh (a) sinh (b)

y

cosh (a + b) = cosh (a) cosh (b) + sinh (a) sinh (b)

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