Funciones implícitas

Círculos

¿Has pensado alguna vez en círculos? Quiero decir, ¿realmente, realmente pensaste en círculos? Bueno, la ecuación para un círculo es x ^ 2 + y ^ 2 = 1.

La ecuación de un círculo

y f (x) y x x y

Para cada valor de x dentro de este círculo, entre -1 y 1, hay dos posibles valores de y : uno en la parte superior del círculo y otro en la parte inferior del círculo. Eso significa que por cada valor de x obtenemos dos valores de y , por lo que en realidad no es una función. Resolvamos esto para que obtengamos y sea igual a alguna función de x . Voy a restar x ^ 2 de ambos lados y voy a sacar la raíz cuadrada de ambos lados. Obtengo y = +/- la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2). Bueno, eso es realmente dos funciones: tengo una para la mitad superior del círculo, y = la raíz cuadrada de (1 –x ^ 2), y uno para la mitad inferior del círculo, y = – la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2). Entonces, ¿qué está pasando aquí?

Óvalos

Las cosas podrían ser un poco más claras si echamos un vistazo al primo un poco más complicado del círculo, el óvalo. La ecuación para un óvalo es 1 = x ^ 2 + y ^ 2 + xy .

La ecuación de un óvalo

x y

Funciones implícitas

Esto es lo que yo llamo una función implícita : depende tanto de x como de y ; x y y no se pueden separar. No puedo escribir que f (x) sea igual a alguna función de x ; tiene que ser alguna función de x e y . Es importante tener en cuenta que funciones como esta no son realmente funciones, al menos en el sentido tradicional. ¿Que quiero decir? Regresemos a nuestro círculo, x ^ 2 + y ^ 2 = 1. Lo resolví para y = la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2) y y = – la raíz cuadrada de (1 – x^ 2), entonces tengo dos funciones que están implícitas en nuestra función implícita. Echemos un vistazo a otro ejemplo.

Ejemplo de función implícita

Echemos un vistazo a xy = y ^ 3 + x ^ 3.

Gráfico para el ejemplo final de función implícita

En este caso, tengo una especie de bucle, y mi ecuación en realidad implica tres funciones diferentes. Tengo mi primera función, digamos y = f (x) , que está definida sobre este rango de valores x , tengo otra función, y = g (x) , que está definida sobre estos valores x y tengo una tercera función, y = h (x) , que se define sobre estos valores de x . Entonces, una función implícita implica tres funciones reales de x .

Puede obtener algunos gráficos realmente atractivos con funciones implícitas, pero es muy importante saber que no puede escribirlos en todas partes con una sola función. Es decir, la ecuación 1 = xy + sin ( x ) + cos ( y ) es una función implícita, pero no puedo escribirla como y = f (x) para todos los valores de x .

Resumen de la lección

Así que repasemos. Funciones implícitas son ecuaciones que tienen X e Y , pero no se puede separar. No se puede resolver para y como una función de x . En general, desea graficarlos en una computadora o calculadora, aunque hay algunas funciones implícitas que debe conocer, como 1 = x ^ 2 + y ^ 2 es un círculo unitario. Las funciones implícitas también ‘implican’ una o más funciones, como en el caso del círculo, 1 = x ^ 2 + y ^ 2 implica que y = la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2) y y = – la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2).

Rodrigo Ricardo Editor y fundador