Graficar funciones cuadráticas por factorización

Pelota de golf en tee

Si fuera a golpear una pelota de golf y luego registrara su altura hasta que aterrizara una vez más; estarías creando la gráfica de una función cuadrática. Los ceros de esta función serían cuando la pelota toque el suelo. Estaría tocando el suelo al principio, antes de golpearlo, y nuevamente cuando haya aterrizado, con suerte un hoyo en uno. Es posible graficar estas funciones usando varios medios diferentes. Esta lección describirá cómo graficar una función cuadrática usando los ceros (que se encuentran a través de la factorización) y varios otros puntos clave.

Graficar una función cuadrática

Una función cuadrática es un polinomio que tiene un grado de dos (el mayor exponente es un dos). Las gráficas de estas funciones siempre se verán como au o una u invertida (la gráfica se llama parábola ). Para graficar funciones cuadráticas con precisión, necesitará saber varias cosas sobre ellas. Debe conocer los ceros (también conocidos como intersecciones con el eje x), las intersecciones con el eje y, el vértice y si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo.

Gráficas de funciones cuadráticas

Poniéndolo en forma estándar

La forma estándar de una ecuación cuadrática se verá como ax 2 + bx + c = 0. Los valores de a, byc nos darán varios datos importantes. En la ecuación -3x 2 + 5x-8, el valor de a es -3, b es 5 y c = -8. Esta ecuación ya está en forma estándar, sin embargo, muchas veces la ecuación no estará en forma estándar. Si ese es el caso, deberá manipular la ecuación hasta que esté en forma estándar.

Ejemplo 1

4x 2 = -3x-7 (sume 3x y 7 a ambos lados)

4x 2 + 3x + 7 = 0 Ahora en forma estándar a = 4 b = 3 c = 7

Ejemplo 2

14x 2 = 10 (reste 10 de ambos lados)

14x 2 -10 = 0 (aviso no hay x plazo)

14x 2 + 0x-10 = 0 Ahora en forma estándar a = 14 b = 0 c = -10

Hallar los ceros usando factorización

Encontrar los ceros (las intersecciones x ) de una función requiere más trabajo. Hay varias formas de encontrar estos ceros, incluida la propiedad de la raíz cuadrada, completar el cuadrado, la fórmula cuadrática y la factorización. Esta lección se enfocará en encontrar los ceros mediante la factorización. Encontrar los ceros mediante la factorización se basa en la regla del producto cero . La regla del producto cero establece que si dos números se multiplican y el producto es cero; entonces uno de esos números tiene que ser cero.

Ejemplo

( x -3) ( x +4) = 0 Dos cosas multiplicadas juntas para dar cero.

O ( x -3) = 0 o ( x +4) = 0

Resuelve ambas ecuaciones lineales

x -3 = 0 (suma tres a ambos lados) x = 3

x + 4 = 0 (restar cuatro de ambos lados) x = -4

Ceros en 3 y -4

En la mayoría de las ocasiones, la ecuación cuadrática no estará ya en forma factorizada como en el ejemplo. La forma factorizada es cuando la función se ha escrito como el producto de dos factores iguales a cero. Deberá mover la ecuación de la forma estándar a la forma factorizada (muchas ecuaciones cuadráticas no se factorizarán; en este caso, deberá utilizar uno de los otros medios para encontrar los ceros). Para factorizar una ecuación cuadrática que tiene un 1 para el valor de a en forma estándar, debes encontrar dos números cuyo producto sea c y cuya suma sea b . a, byc se toman del formulario estándar.

Ejemplo

Encontrar los ceros de x 2 -5X-14 = 0

Ya en forma estándar. a = 1, b = -5 y c = -14

Buscando dos números que se multipliquen hasta -14 y sumen -5

Esos números son -7 y +2

En forma factorizada ( x -7) ( x +2) = 0

Ceros en 7 y -2

Muchas veces el valor de un no serán 1. En ese caso, tendrá que encontrar dos números que se multiplican a un momento c , y cuya suma es b . Luego, tomará esos dos números y los dividirá entre a .

Ejemplo

Hallar los ceros de 2x 2 + 11x + 5 = 0

Multiplicar a y c , 2 veces 5 = 10

Dos números que tienen un producto de 10 y una suma de 11

Esos números son 1 y 10

Divida cada uno de esos números por a , a = 2

1/2 y 10/2 que es 5

En forma factorizada: (x + 1/2) (x + 5) = 0

Los ceros son -1/2 y -5

Otros puntos importantes

Para graficar una función cuadrática, necesitará conocer algunos otros puntos. La intersección con el eje y es el punto donde la gráfica cruza el eje y . Se ubica en el punto (0, c ) utilizando el formulario estándar. El vértice de una cuadrática es el punto más alto o más bajo de la gráfica. El valor x del vértice se encuentra usando – b / 2 a en forma estándar. Una vez que haya determinado el valor x del vértice, inserte el valor x en la función para determinar el valor y . El gráfico se abrirá hacia arriba o hacia abajo según el valor de a . Si unes negativo, la parábola se abre hacia abajo; si es un número positivo, se abrirá.

Poniendolo todo junto

Para graficar una ecuación cuadrática, necesitarás determinar los ceros, la intersección con el eje y, el vértice y la dirección en la que se abre. Luego, trazará esos puntos en una cuadrícula de coordenadas x, y y completará el resto de los puntos con una parábola suave.

Ejemplo

Representa gráficamente la función: x 2 -4x = 12

1. Poner en forma estándar: x 2 -4x-12 = 0
2. Determine a, b y c : a = 1 b = -4 c = -12
3. Intersección en Y (0, c): (0, -12)
4. Se abre hacia arriba o hacia abajo: a es positivo, entonces se abre
5. Vertex -b / 2a: 4/2 (1) = 2, el enchufe en 2, (2) 2 -4 (2) -12 = -16 Vertex (2, -16)
6. Hallar ceros: dos números cuyo producto es -12 y la suma es -4. Son -6, + 2
7. Forma factorizada: (x-6) (x + 2) = 0
8. Ceros en: (6,0) y (-2,0)

Gráfico cuadrático

Resumen de la lección

Para graficar una ecuación cuadrática es muy útil saber dónde están los ceros de la función. Si pones la ecuación en forma factorizada , puedes resolver fácilmente x usando la regla del producto cero . Determina la ubicación del vértice y la intersección con el eje y. Ahora tienes suficientes puntos para dibujar una parábola que conecte esos puntos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador