Graficar funciones reflectoras

Reflexiones

Suponga que un ingeniero, Bob, tiene un plano que contiene una gráfica de la siguiente función:

• f ( x ) = x 2 + 2 x – 3

La función y su gráfico modelan cómo se supone que encajan determinadas partes del proyecto de Bob.

Mientras Bob y su equipo están trabajando, se dan cuenta de que algunos de los cálculos involucrados en la derivación de la función eran incorrectos y que la función con la que realmente deberían estar trabajando es la función – f ( x ).

• – f ( x ) = – ( x 2 + 2 x – 3)

Dado que están en el sitio de construcción, no tienen acceso a las computadoras en la oficina que se necesitan para elaborar nuevos planos con el gráfico corregido. Afortunadamente, sin embargo, multiplicar una función por un negativo, como en este ejemplo, corresponde a un ajuste bastante simple de la gráfica de la función original.

Verá, la gráfica de – f ( x ) es la gráfica de f ( x ) reflejada sobre el eje x . En matemáticas, llamamos – f ( x ) una reflexión de f ( x ) sobre el eje x , y llamaríamos – f ( x ) y f ( x ) funciones reflectoras . Hay una serie de relaciones como esta que corresponden a los reflejos de la gráfica de una función. Echemos un vistazo a algunas de estas relaciones y cómo graficar estas reflexiones.

Graficar funciones reflectoras

Acabamos de descubrir que multiplicar una función por un negativo corresponde a reflejar la gráfica de la función original sobre el eje x . En términos de coordenadas, esto significa que dada una función f ( x ), podemos graficar – f ( x ) multiplicando la coordenada y de cada uno de los puntos en f ( x ) por -1.

• Si ( a , b ) está en la gráfica de f ( x ), entonces ( a , – b ) está en la gráfica de – f ( x ).

Esto puede generarle curiosidad acerca de cómo se vería algebraicamente un reflejo sobre el eje y , y en realidad es similar. Es decir, si multiplicamos solo la variable x de una función por -1, esto corresponde a reflejar la gráfica de esa función sobre el eje y . En otras palabras, f (- x ) es la gráfica de f ( x ) reflejada sobre el eje y . En coordenadas, tenemos que podemos graficar f (- x ) multiplicando la coordenada x de cada uno de los puntos en f ( x ) por -1.

• Si ( a , b ) está en f ( x ), entonces (- a , b ) está en f (- x ).

Por último, consideremos la función de valor absoluto. Si tenemos una función f ( x ), entonces | f ( x ) | toma todas las salidas de f ( x ) y las hace positivas. Gráficamente, esto significa que | f ( x ) | todo se encuentra por encima del eje x , donde y es positivo. Ahora, pensemos en esto en términos de reflexiones. Suponga que tenemos una función, f ( x ), con parte de su gráfica debajo del eje x . Entonces | f ( x ) | toma esa parte que está debajo de la x-eje y lo refleja sobre el eje x para hacerlo positivo. ¡Ah-ja! ¡Un reflejo!

Básicamente, dada una función, f ( x ), podemos graficar | f ( x ) | reflejando solo la parte de la gráfica de f ( x ) que se encuentra debajo del eje x sobre el eje x . En coordenadas, tomamos cualquier punto que esté en la gráfica de f ( x ) que esté debajo del eje x , y multiplicamos la coordenada y por -1. Dejamos la gráfica de f ( x ) que está por encima del eje x como está, porque ya es positiva.

¡Bueno! ¡Esto no parece demasiado difícil! Probemos algunos ejemplos.

Ejemplos

Primero, ayudemos a Bob graficando la gráfica correcta que necesita para sus planos. Tenemos una imagen de f ( x ) y queremos graficar – f ( x ). Para hacer esto, simplemente buscamos algunos puntos en la gráfica, multiplicamos la coordenada y por una negativa y graficamos los nuevos puntos. Por último, conectamos los puntos graficados en una curva apropiada que tiene la misma forma que la función original, simplemente reflejada sobre el eje x .

¡Excelente! Bob está listo para seguir adelante con su proyecto ahora.

Considere la siguiente función:

• g ( x ) = √ ( x )

El gráfico de esta función se muestra en la imagen.

Usemos esta gráfica para representar gráficamente la función h ( x ) = √ (- x ). Observe que h ( x ) = g (- x ). Es decir, h ( x ) es lo mismo que g ( x ) con la variable x multiplicada por un negativo. Hmmm… ¿a qué reflexión corresponde esto? ¡Si! Corresponde a reflejar g ( x ) sobre el eje y . Por lo tanto, para graficar h ( x ), simplemente reflejamos g ( x ) sobre y-eje encontrando algunos puntos en g ( x ), multiplicando la coordenada x por -1 y trazando los nuevos puntos. Luego, conectamos los puntos en consecuencia.

¡De acuerdo, uno más! Considere la siguiente función y su gráfica:

• r ( x ) = x – 2

Podemos usar esto para graficar | r ( x ) | = | x – 2 |. Todo lo que tenemos que hacer es notar que la gráfica de r ( x ) se encuentra debajo del eje x para x <2. Por lo tanto, tomamos todos los puntos en r ( x ) con x <2, y multiplicamos el y – coordenadas por -1. Trazamos los nuevos puntos y los conectamos en línea recta, dejando la porción de r ( x ) que está por encima del eje x como está. El resultado es el gráfico de | r ( x ) |.

Resumen de la lección

Las reflexiones de los gráficos implican reflejar un gráfico sobre una línea específica. Las funciones reflectoras son funciones cuyos gráficos son reflejos entre sí. Podemos utilizar las siguientes reglas para representar gráficamente funciones que refleja más de la X y Y ejes.

• – f ( x ) es la gráfica de f ( x ) reflejada sobre el eje x . Si ( a , b ) está en f ( x ), entonces ( a , – b ) está en la gráfica de – f ( x ).
• f (- x ) es la gráfica de f ( x ) reflejada sobre el eje y . Si ( a , b ) está en f ( x ), entonces (- a , b ) está en la gráfica de f (- x ).
• | f ( x ) | es la gráfica de f ( x ) con solo sus partes negativas reflejadas sobre el eje x . Si ( a , b ) está en f ( x ) y b > 0, entonces ( a , b ) está en | f ( x ) |. Si ( a , b ) está en f ( x ) y b <0, entonces ( a , – b ) está en | f ( x ) |.

Cuanto más trabaje con las funciones reflectantes, más fácilmente podrá identificar este tipo de funciones y graficarlas en consecuencia, así que siga practicando y ¡será un profesional en poco tiempo!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador