Hallar la derivada de log (x)

Pasos para resolver

Queremos encontrar la derivada de log ( x ). Para hacer esto, primero necesitamos examinar la expresión log ( x ). En general, un logaritmo tiene la forma log a ( x ). Es decir, llamamos a la base del logaritmo. Además, ingrese una ( x ) representa el número elevamos una a fin de obtener x .

Ahora, observe que log ( x ) no tiene una base mostrada. Cuando este es el caso, la base implícita es 10. Por lo tanto, log ( x ) = log 10 ( x ).

Muy bien, ahora podemos llegar a la derivada de log ( x ). Esta derivada es bastante simple de encontrar, porque tenemos una fórmula para encontrar la derivada de log a ( x ), en general.

Tenemos que la derivada de log a ( x ) es 1 / ( x ln ( a )). ¡Espere! ¿Qué diablos es un logaritmo natural de a , anotado en nuestra fórmula como ln ( a )? No se preocupe, ln ( a ) es simplemente otro logaritmo con base e implícita , donde e es el número irracional con un valor aproximado de 2.71828. Es decir, ln ( x ) = log e ( x ).

Bien, usemos esta fórmula para encontrar la derivada de log ( x ). Tenemos que la base de log ( x ) es 10, por lo que reemplazamos esto en la fórmula derivada de log a ( x ).

Encontramos que la derivada de log ( x ) es 1 / ( x ln (10)).

Derivando la fórmula

Ahora que sabemos cómo encontrar la derivada de log ( x ), y conocemos la fórmula para encontrar la derivada de log a ( x ) en general, echemos un vistazo a de dónde proviene esta fórmula. Por supuesto, primero tendremos que repasar algunos hechos, así que comencemos.

En primer lugar, para explicar de dónde proviene la fórmula, debemos estar familiarizados con el cambio de fórmula base para logaritmos . Esta es una fórmula sencilla que nos permite expresar un logaritmo usando una base diferente, y es log M ( N ) = log c ( N ) / log c ( M ).

Muy bien, hay dos hechos más que necesitaremos saber para continuar:

1. Si a es una constante, entonces la derivada de a ⋅ f ( x ) es a ⋅ f ‘( x ).
2. La derivada de ln ( x ) es 1 / x .

Ahora, usemos estos hechos para derivar nuestra fórmula. En primer lugar, usaremos la fórmula de cambio de base para cambiar la base de log a ( x ), que es a , a base e .

log a ( x ) = log e ( x ) / log e ( a ) = ln ( x ) / ln ( a ) = (1 / ln ( a )) ⋅ln ( x )

Esto nos dice que debemos encontrar la derivada de log a ( x ), necesitamos encontrar la derivada de (1 / ln ( a )) ⋅ln ( x ). Observe que 1 / ln ( a ) es una constante, por lo que según nuestro primer hecho, la derivada de (1 / ln ( a )) ⋅ln ( x ) es 1 / ln ( a ) multiplicado por la derivada de ln ( x ). Además, por el segundo hecho, sabemos que la derivada de ln ( x ) es 1 / x . Por lo tanto, la derivada de (1 / ln ( a )) ⋅ln ( x ) es 1 / ln ( a ) ⋅ 1 / x , o 1 / ( x ln ( a)). ¡Ta-da! ¡Tenemos nuestra fórmula!

Vemos cómo se deriva la fórmula de la derivada para log a ( x ). Bastante ordenado, ¿eh?

Es genial que sepamos de dónde viene esta fórmula, pero definitivamente es una buena idea recordar esta fórmula. No solo nos permitió encontrar la derivada de log ( x ), sino que también podemos usarla para encontrar la derivada de log a ( x ) para cualquier base a . Por ejemplo, considere nuestro segundo hecho de que la derivada de ln ( x ) es 1 / x . En realidad, esto se puede probar con esta fórmula.

Sabemos que la base de ln ( x ) es e , por lo que sustituimos e por a en la fórmula de la derivada para obtener que la fórmula de la derivada de ln ( x ) es 1 / x (ln ( e )). Ahora, recuerde que dijimos que el logaritmo log a ( x ) es igual al número que elevamos a para obtener x . Por lo tanto, ln ( e ) es igual al número al que elevamos e para obtener e .

Bueno, este número es en realidad 1. Por tanto, tenemos 1 / ( x ln ( e )) = 1 / ( x ⋅1) = 1 / x .

Como se indica en nuestros hechos, obtenemos que la derivada de ln ( x ) es 1 / x , y vemos cuán útil puede ser esta fórmula en el estudio de logaritmos y derivadas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador