Inercia Rotacional: Definición, fórmula y ejemplos

¿Qué es la inercia rotacional?

Considere un bloque de madera en reposo sobre una superficie. Dado que inicialmente está en reposo, se necesitará una cantidad específica de fuerza para moverlo, lo cual es más evidente cuando el bloque de madera tiene una masa significativamente grande. Una vez que comienza a moverse, un bloque de madera más pesado también es más difícil de detener que uno más liviano. Esta tendencia del objeto a resistir cualquier cambio en su estado de movimiento se conoce como inercia. La inercia de un objeto está determinada por su masa. Un objeto más pesado tiene mayor inercia, lo que significa que es más difícil hacerlo empezar a moverse cuando inicialmente está en reposo o detenerlo cuando ya está en movimiento. Por el contrario, un objeto más ligero tiene una inercia menor y es más fácil ponerlo en movimiento o detenerlo.

La inercia es un concepto que se encuentra comúnmente cuando se trata de objetos en movimiento lineal. Cuando se trata de movimiento de rotación, se utiliza la contraparte de la inercia, conocida como inercia de rotación o momento de inercia. ¿Qué es la inercia rotacional? Cuantifica la resistencia de un objeto a cualquier cambio en su estado de rotación. Considera no sólo la masa del objeto sino también cómo se distribuye la masa desde el eje de rotación. Por tanto, cuanto mayor es la masa de un objeto, mayor es su inercia rotacional. Esto explica por qué una rueda más pesada es más difícil de girar que una rueda más ligera del mismo diámetro. Además, cuanto más alejada esté la masa del eje de rotación, mayor será la inercia rotacional del objeto. La aplicación de este concepto es evidente en cómo los patinadores artísticos cambian la velocidad de sus rotaciones. Cuando una patinadora artística extiende sus brazos y piernas mientras gira, su inercia rotacional aumenta y, como resultado, gira más lento. A medida que acerca sus brazos y piernas a su cuerpo, su inercia rotacional disminuye, lo que le permite girar más rápido.

En el movimiento lineal, la masa de un objeto es inversamente proporcional a su aceleración. Esto es análogo a cómo la inercia rotacional de un objeto también es inversamente proporcional a la aceleración angular de un objeto. Cuanto mayor sea la inercia rotacional del objeto, más difícil será acelerarlo. Cuando un objeto ya está girando, una mayor inercia rotacional significa que es más difícil hacer que deje de girar.

Fórmula de inercia rotacional

En el movimiento lineal, la segunda ley del movimiento de Newton establece que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que se le aplica pero inversamente proporcional a la masa. Se expresa como {eq}a=\frac{\Sigma F}{m} {/eq}, donde a es la aceleración, {eq}\Sigma F {/eq} es la fuerza neta y m es la masa. del objeto. ¿Cómo se relaciona esta relación con el movimiento de rotación?

Considere una partícula de masa m que gira alrededor de un punto fijo. La partícula está unida a una varilla de masa despreciable y longitud r. Para hacer que la partícula gire, se ejerce una fuerza perpendicular al radio o longitud de la varilla, una cantidad llamada torsión. El par cuantifica el efecto de giro o torsión de la fuerza. Se expresa como {eq}\tau = rF {/eq} y tiene una unidad SI de newton-metro (N{eq}\cdot {/eq}m). La aceleración lineal o tangencial está relacionada con la aceleración angular mediante {eq}a=r\alpha {/eq}. Estas expresiones se sustituyen por la segunda ley de Newton (F = ma) para obtener una expresión para el par que actúa sobre la partícula en rotación, lo que da como resultado {eq}\tau = mr^2\alpha {/eq} (1).

Cuando se aplica la ecuación (1) a un objeto rígido en rotación, como un disco o una esfera, el par se convierte en la suma de los pares que actúan sobre el objeto. La ecuación (1) entonces se puede expresar como {eq}\Sigma \tau = (\Sigma mr^2)\alpha {/eq} (2).

Dado que la expresión {eq}\Sigma mr^2 {/eq} es la inercia rotacional, I del objeto, la ecuación final para el par neto se puede expresar como:

{eq}\Sigma \tau = I \alpha {/eq}

dónde

{eq}\tau {/eq} es el par,

I es la inercia rotacional y

{eq}\alpha {/eq} es la aceleración angular.

Tenga en cuenta que la aceleración angular es el cambio en la velocidad angular por intervalo de tiempo, {eq}\alpha = \frac{\omega – \omega_0}{t} {/eq}, donde {eq}\alpha {/eq} es el aceleración angular, {eq}\omega {/eq} es la velocidad angular final, {eq}\omega_0 {/eq} es la velocidad angular inicial y t es el tiempo. La ecuación {eq}\Sigma \tau = I \alpha {/eq} es una extensión de la segunda ley del movimiento de Newton y a veces se la denomina segunda ley de rotación de Newton. Afirma que la suma de los pares que actúan sobre un objeto es el producto del momento de inercia y la aceleración angular. Se aplica a cualquier objeto rígido que gira alrededor de un eje fijo. El par neto es paralelo a la fuerza neta en el movimiento lineal, la inercia rotacional es análoga a la masa o la inercia y la aceleración angular es paralela a la aceleración.

¿En qué se mide la inercia?

En el movimiento lineal, la inercia está directamente relacionada con la masa. Así, la inercia se mide en kilogramos (kg). En el movimiento de rotación, la fórmula de la inercia rotacional es {eq}I = \Sigma mr^2 {/eq} o simplemente {eq}I = mr^2 {/eq}, donde m es la masa y r es el radio o la Distancia entre la concentración de masa y el eje de rotación. La unidad SI de masa es el kilogramo (kg), mientras que la unidad SI del radio es el metro (m). Por lo tanto, la unidad SI de inercia rotacional es kg {eq}\cdot {/eq} m {eq}^2 {/eq}.

¿Cómo encontrar la inercia rotacional?

Como se menciona en la definición de inercia rotacional, la inercia rotacional depende de la masa del objeto y de cómo se distribuye la masa desde el eje de rotación. La siguiente figura muestra cómo encontrar la inercia rotacional de objetos rígidos comunes. Observe que, con la misma masa, un aro delgado tiene una inercia rotacional mayor que un cilindro sólido. El aro delgado tiene una masa concentrada más lejos del eje de rotación, lo que difiere de la distribución de masa uniforme de un cilindro sólido. La diferencia en sus inercias rotacionales es evidente cuando se permite que dos objetos rueden desde lo alto de un plano inclinado mientras tienen masas similares. Dado que el cilindro sólido tiene una mayor inercia rotacional, llegará al fondo del plano inclinado antes que el aro delgado.

Utilice los ejemplos de inercia rotacional a continuación para practicar la resolución de problemas relacionados con el concepto.

Ejemplo 1

¿Cuál es la inercia rotacional de una esfera uniforme con una masa de 1,2 kg y un radio de 15 cm que gira a través de su centro?
Paso 1

Identifica las cantidades dadas.

Las cantidades dadas son m = 1,2 kg y r = 15 cm = 0,15 m.
Paso 2

Identifica la cantidad desconocida.

Se desconoce la inercia rotacional de la esfera.
Paso 3

Identifique la mejor ecuación a utilizar.

La inercia rotacional de una esfera uniforme viene dada por {eq}I = \frac{2}{5}MR^2 {/eq}.
Etapa 4

Usa la ecuación para resolver la cantidad desconocida.

{eq}I = \frac{2}{5}(1,2\text{ kg})(0,15\text{ m})^2=0,0108\text { kg} \cdot \text{ m}^2 {/eq }

La inercia rotacional de la esfera uniforme es 0,0108 kg{eq}\cdot {/eq}m{eq}^2 {/eq}.

Ejemplo 2

Un tiovivo es un disco con un radio de 8 m y una masa de 25 000 kg. Acelera desde el reposo a 0,12 revoluciones por segundo durante 20 s. ¿Cuánta torsión se necesita para hacer girar el tiovivo?
Paso 1

Identifica las cantidades dadas.

Las cantidades dadas son r = 8 m, m = 25 000 kg, {eq}\omega_0 {/eq} = 0, {eq}\omega {/eq} = 0,12 revoluciones por segundo y t = 20 s.
Paso 2

Identifica la cantidad desconocida.

Se desconoce la torsión neta necesaria para hacer girar el tiovivo.
Paso 3

Identifique la mejor ecuación a utilizar.

{eq}\Sigma \tau = I \alpha {/eq}, donde {eq}I = \frac{1}{2}MR^2 {/eq} y {eq}\alpha = \frac{\omega – \omega_0}{t} {/eq}
Etapa 4

Usa la ecuación para resolver la cantidad desconocida.

Primero, convierta la velocidad angular final de rev/s a rad/s. (1 revolución = 2{eq}\pi {/eq} rad)

{eq}12\frac{rev}{s} \times \frac{2\pi \text{ } rad}{1\text{ } rev}=0,75\frac{rad}{s} {/eq}

Luego, usa las cantidades dadas para calcular el torque neto.

{eq}\Sigma \tau = I \alpha \rightarrow \Sigma \tau =(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{\omega-\omega_0}{t})=(\frac{ 1}{2}(25000\ \text{ kg}) (8\text{ m}^2))(\frac{0.75\text{ rad/s} – 0}{20\text{ s}})= 30000\text{ N}\cdot \text{m} {/eq}

El par necesario para hacer girar el tiovivo es 30 000 N{eq}\cdot {/eq}m.

Resumen de la lección

Inercia rotacional o momento de inercia, cuantifica la resistencia de un objeto ante cualquier cambio en su estado inicial de rotación. Depende de la masa del objeto y de la distribución de la masa desde el eje de rotación. Tiene una unidad SI de kg {eq}\cdot {/eq} m {eq}^2 {/eq}. Cuanto mayor sea la inercia rotacional, más difícil será acelerar el objeto. Es análogo a la inercia en el movimiento lineal, que es la tendencia de un objeto a resistir cambios en su estado de movimiento. A diferencia de la inercia rotacional, la inercia depende únicamente de la masa. Cuanto mayor sea la inercia de un objeto, más difícil será cambiar su estado inicial de movimiento.

La segunda ley de Newton en el movimiento lineal tiene una contraparte rotacional, denominada segunda ley de rotación de Newton. Se expresa como {eq}\Sigma \tau = I \alpha {/eq} donde {eq}\tau {/eq} es el par, I es la inercia rotacional y {eq}\alpha {/eq} es la aceleración angular ({eq}\frac{\omega-\omega_0}{t} {/eq}). Esta ecuación indica que los objetos con mayor inercia rotacional a masa constante necesitan aplicar más fuerza desde una cierta distancia (par) para aumentar o disminuir su rotación. La inercia rotacional se expresa como {eq}I =\Sigma mr^2 {/eq}, donde m es la masa y r es el radio o la distancia de la concentración de masa desde el eje de rotación. Diferentes objetos tienen diferentes fórmulas para sus inercias rotacionales dependiendo de cómo se distribuye la masa desde el eje de rotación.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador