Comprensión del movimiento y el movimiento dinámico
Imagínese esto: duerme en casa por la noche. De repente, un hombre irrumpe en su habitación y dice: «¡Lo necesitamos para apoyar a su país!» Bueno, además de tener los ojos un poco adormecidos, podrías decir: ‘¿De qué estás hablando? ¿Que necesitas que haga?’ Él dice: ‘¡Eso es clasificado! No podemos decírselo hasta que sepamos que está listo para hacerlo. Así que te vendará los ojos, te mete en un camión y te lleva quién sabe dónde durante unas cuatro horas. Mientras estás con los ojos vendados, aburrido en la parte trasera de este camión, en tu cabeza, empiezas a hacer gráficos, porque nada te emociona más que las matemáticas. Grafica tu velocidad en función del tiempo. Primero, el camión acelera y luego desacelera. Luego se acelera. Estás capturando todo esto en este pequeño gráfico en tu cabeza. Finalmente, después de cuatro horas de este tipo de conducción, te sacan del camión y el agente del gobierno te dice: ‘Entonces … ¿dónde estás?’ Bueno, es bueno que estuvieras jugando con las matemáticas en tu cabeza.
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Encontrar su posición usando la velocidad
Así que te sientas ahí y piensas: ‘¿Qué sé yo sobre el movimiento ?’ Usted dice: ‘Bueno, está bien, si defino una variable x como mi posición en función del tiempo, entonces sé que la derivada de x con respecto al tiempo es la tasa de cambio de mi posición. Esta tasa de cambio dependerá del tiempo y será igual a mi velocidad. La tasa de cambio de mi velocidad también dependerá del tiempo, y esa es mi aceleración. Dibujé mi velocidad en función del tiempo, de modo que si tomara la derivada de este gráfico, podría obtener mi aceleración ‘. Pero no me preguntó qué tan rápido aceleré. Me preguntó dónde estaba. Entonces conozco mi velocidad y necesito encontrar mi posición. Si multiplico ambos lados por dte integrar desde mi hora de inicio y apuntar a mi hora y punto final, obtengo que la integral de la velocidad con respecto al tiempo es igual a mi posición final menos mi posición inicial. Entonces, todo esto significa que si tengo velocidad y la integro durante un período de tiempo, me dará la distancia que recorrí. Este es un buen comienzo. Entonces podría escribir que mi posición actual es igual a mi posición inicial más la integral de velocidad que está en mi cabeza en este momento.
Resolver movimiento dinámico con integración
Entonces, la integral de la velocidad con respecto al tiempo entre cuando me sacaron de la cama y ahora… eso significa que estoy buscando el área debajo de esta curva en mi cabeza. Entonces, ¿cómo puedo hacer eso? Bueno, primero digamos que mi velocidad en función del tiempo es esta función, f (t) . Entonces es (- ( t – 1) ^ 2) + 1 durante las primeras dos horas. Durante esa segunda hora, desde el tiempo t = 2 hasta t = 3, mi velocidad fue igual a ( t / 2) – 1. Fue entonces cuando estaba acelerando nuevamente. Finalmente, entre t = 3 y t = 4, esa última hora en la camioneta, mi velocidad fue igual a (1 – (( t – 3) ^ 3)) / 2. Entonces, ¿puedo usar esta información para encontrar el área bajo esta curva y, por lo tanto, mi posición actual?
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Recapitulemos lo que sabemos. Comencé en una posición a 30 millas al norte de la ciudad, porque ahí es donde estaba mi casa. Y sé que mi posición final va a ser igual a mi posición inicial, más la integral desde que me sacaron de la cama hasta ahora, de mi velocidad en función del tiempo. Entonces, mi velocidad en función del tiempo se ve así, y la función es igual a esta función de tres partes.
Calcular la integral
Intentemos calcular esta integral. Como tengo tres ecuaciones diferentes para esas tres regiones, voy a dividir mi integral en esas tres regiones. Entonces tengo la integral de 0 a 2, de 2 a 3 y de 3 a 4, o ahora. Resolvamos estas tres integrales. Primero, tomaremos la integral de 0 a 2 de (- ( t – 1) ^ 2) + 1. Si integro (- ( t – 1) ^ 2) + 1, obtengo esto: -1/3 ( t – 1) ^ 3 + t . Este + t proviene del 1; 1/3 ( t – 1) ^ 3 proviene de las reglas polinomiales que conocemos. Voy a evaluar todo esto de 0 a 2. Mi segundo término también es un polinomio. Tengo (( t ^ 2) / 4) – t , porque si tomo la derivada de (t ^ 2) / 4) – t , vuelvo ( t / 2) – 1. Voy a evaluar esto de 2 a 3. Mi último término es otro polinomio, aunque está al cubo, es solo un mayor orden. Cuando integro eso, obtengo ( t – (1/4) ( t – 3) ^ 4) / 2; Evaluaré esto de t = 3 a t = 4. Si enchufo todos esos, evalúo mi primer término de t = 0 a t= 2, mi segundo término de 2 a 3 y mi tercer término de 3 a 4 – obtengo una ecuación bastante larga. Pero aquí no hay variables; Puedo resolver esto. Cuando lo hago, termino obteniendo 47/24. Recuerde, esto es igual a la integral desde que el tiempo es igual a salir de la cama hasta ahora de mi velocidad en función del tiempo. Así que puedo volver atrás y conectar eso: eso es 47/24 millas de mi posición actual. Bueno, si mi posición actual era de 30 millas al norte de la ciudad y he ido otras 47/24 millas al norte, entonces mi posición actual es de aproximadamente 32 millas al norte de la ciudad.
¿Qué es el Movimiento Oscilatorio y Ondas Mecánicas en Física?
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Resumen de la lección
Revisemos. Si tengo x , que es una posición en función del tiempo, entonces sé que la derivada de x con respecto al tiempo es igual a mi velocidad, porque esa es la tasa de cambio de mi posición. Si integro mi velocidad durante un período de tiempo establecido, eso me dará el cambio en mi posición durante ese período de tiempo. Entonces puedo usar información sobre mi posición inicial y mi velocidad en función del tiempo para terminar en mi posición actual. Al conocer todo esto sobre movimiento y dinámica, hemos logrado convencer a este hombre de negro de que estamos a la altura de la tarea de salvar al país y salvar al mundo con solo saber un poco de cálculo.
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