Inversamente proporcional: definición, fórmula y ejemplos

¿Qué es inversamente proporcional?

En matemáticas, las cantidades pueden cambiar cuando cambia otra cantidad. Cuando dos cantidades o variables están conectadas, decimos que existe una relación entre las dos. Las variables pueden tener una de tres relaciones o variaciones: directa, inversa y conjunta .

En esta lección, nos enfocamos en comprender la definición de variación inversa : si una cantidad aumenta como resultado de la disminución de otra cantidad o viceversa, entonces las dos cantidades son inversamente proporcionales . Podemos escribir la definición matemática de inversamente proporcional como se ve en la figura 1.

Figura 1: y es la variable que es inversamente proporcional a la variable x elevada a la potencia n, y k es un número distinto de cero.

Digamos que tenemos n = 1, entonces la definición se puede simplificar y escribir como: y = k / x, donde ‘y’ es inversamente proporcional a ‘x’.

Si x se eleva a la segunda potencia, entonces decimos que y es inversamente proporcional al cuadrado de xo al cubo de x si se eleva a la tercera potencia, y así sucesivamente. El valor de n también puede ser una fracción, como ½ potencia. Cuando tienes un exponente como 1/2, también se conoce como raíz cuadrada. En este caso, diríamos que y es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de x , y lo escribiríamos de la siguiente manera:

Vamos a obtener una mejor comprensión de lo que significa inversamente proporcional representando el valor de x e y para diferentes valores de n :

Observe la gráfica cuando y es inversamente proporcional ax con una constante k de 50. Observe que a medida que aumenta el valor de x , el valor de y disminuye. 50 se divide por el valor creciente de x , lo que da como resultado valores cada vez más pequeños de y . Esto sucede porque x está en el denominador. Muchas veces terminará con una relación que es inversamente proporcional si la variable independiente está en el denominador.

Veamos qué sucede si tienes x elevado a la segunda potencia en el denominador en lugar de la primera potencia. Observe que, inicialmente, a medida que aumenta el valor de x , el valor de y disminuye muy rápidamente, pero luego la disminución es más lenta en comparación con el comienzo del gráfico. Sin embargo, la tendencia sigue siendo la misma que antes: a medida que aumenta el valor de x , el valor de y disminuye.

Si graficara y como una función de 50 dividido por la raíz cuadrada de x , incluso entonces esta tendencia seguirá siendo la misma. Un aumento en el valor de x resultará en una disminución en el valor de y , o al revés. Básicamente, cuando una variable va en una dirección, la otra variable suele ir en la dirección opuesta. Ésta es la razón por la que este tipo de relación se denomina inversamente proporcional.

Ahora que entendemos mejor esta relación, veamos cómo podemos aplicarla para resolver problemas.

Ejemplo: un problema de fabricación

Veamos un ejemplo de cómo funcionaría esto en el mundo real.

Ejemplo:

A Chloe se le ocurrió un nuevo diseño para una pulsera y ahora está interesada en producir la pulsera en grandes cantidades para poder venderlas en su tienda en línea. Sus cálculos iniciales sugieren que el costo de producir un brazalete varía inversamente al cuadrado del número de brazaletes hechos. Si Chloe hace 100 brazaletes, costaría $ 2 por brazalete. ¿Cuál sería el precio unitario de las pulseras si Chloe decide fabricar 500 pulseras?

Para encontrar la solución, primero debemos escribir la ecuación que describe la relación entre las cantidades de pulseras y el precio unitario de la pulsera.

donde k es una constante que podemos resolver ya que conocemos el precio unitario de la pulsera cuando se producen 100 cantidades.

Para averiguar qué es k , primero multiplicamos cada lado por Cantidad ^ 2, lo que nos da:

k = Precio x Cantidad ^ 2

Luego podemos insertar los números que tenemos y obtenemos:

$ 2 x 100 ^ 2 = 20 000

Ahora que conocemos el valor de k , podemos calcular el precio unitario si tuviéramos que producir 500 cantidades. Debemos volver a nuestra fórmula original de Precio = k / Cantidad ^ 2 y luego introducir nuestros números. Esto nos da:

Precio = 20,000 / 500 ^ 2
= $ 0.08

Ahora sabemos que costaría ocho centavos por brazalete si Chloe decide producir 500 brazaletes.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió lo que significa cuando dos variables están inversamente relacionadas o son proporcionales. Aprendió que dos variables son inversamente proporcionales si una variable aumenta como resultado de una disminución en otra. También aprendió lo que le sucede a la variable dependiente ( y ) si cambia la variable independiente ( x ) en relaciones inversas: la variable y disminuye a medida que aumenta la variable x , y aumenta a medida que disminuye la variable x . También elaboramos un ejemplo en el que resolvimos varias cantidades cuando se aplica la proporcionalidad inversa. Ahora está listo para intentar algunos problemas por su cuenta sobre este tema.

Los resultados del aprendizaje

Cuando termine esta lección, los estudiantes deberían poder:

• Definir variación inversa e inversamente proporcional
• Escribe la definición matemática de las variables inversamente proporcionales.
• Parcela x y Y variables de inversamente proporcional en un gráfico
• Resolver problemas verbales que involucran proporcionalidad inversa.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador