La fórmula del doble ángulo

Gemelos de trigonometría

Digamos que tienes un ángulo x . Eres un ángulo feliz. La vida es buena. Tienes tu casa en un triángulo rectángulo. Y tienes tus amigos sencillos, coseno y tangentes, y cuando te juntas con ellos, conoces tus valores.

Con seno, eres lo opuesto a la hipotenusa. Con coseno, eres el adyacente sobre la hipotenusa. Y con la tangente, eres lo opuesto al adyacente. SOH CAH TOA, agradable y sencillo.

Entonces, un día, descubres que tienes un gemelo perdido hace mucho tiempo. De repente, no eres solo x , eres 2 x . Tu mundo ya no tiene sentido. Lo más relevante para esta lección es que sus amigos seno, coseno y tangente están confundidos. Afortunadamente, existen fórmulas para que cada uno de tus amigos ayude. Las fórmulas de doble ángulo son fórmulas que definen la relación entre un valor trigonométrico y el doble del ángulo original. Así que tome a su gemelo y a sus viejos amigos de trigonometría y averigüemos esto.

Seno

Comencemos con la fórmula del doble ángulo para el seno. Es sin (2 x ) = 2sin ( x ) cos ( x ) . Espera, ¿cómo puede ser eso? ¿Por qué no pudimos encontrar el seno de x y luego duplicarlo? Vamos a intentarlo. Aquí hay un triángulo donde x es 30. ¿Qué es sin30? 1/2. Bien, ¿qué es 2 * 1/2? 1. ¿Es igual que el seno de 60? No. El seno de 60 es (raíz 3) / 2. Es por eso que tu amigo seno está tan molesto.

Probemos nuestra fórmula de doble ángulo con el mismo ángulo. Entonces sin (2 x ) es sin60. Para que nuestra fórmula de doble ángulo sea cierta, sin60 = 2sin (30) cos (30). Sin60, nuevamente, es (raíz 3) / 2. Sin30 sigue siendo ½, y el coseno de 30: (raíz 3) / 2. Así que tenemos 2 * 1/2 * (raíz 3) / 2. Estos dos se cancelan y nos queda (raíz 3) / 2 = (raíz 3) / 2. Eso aliviará el seno.

Entonces, ¿de dónde viene sin (2 x ) = 2sin ( x ) cos ( x )? Viene de la fórmula de suma del seno. Si no teníamos 2 x pero tuvo x e y , a continuación, sen ( x + y ) = sen ( x ) cos ( y ) + sen ( y ) cos ( x ). Si esos y s se convierten en x s, tienes sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x ) cos ( x ), que es nuestra fórmula de doble ángulo: 2sin ( x ) cos ( x ).

Coseno

A continuación, veamos la fórmula del coseno. Esto también se deriva de la fórmula de suma. Si recuerda, cos ( x + y ) = cos ( x ) cos ( y ) – sin ( x ) sin ( y ). Convirtamos esos y sa x s; cos (2 x ) = cos ( x ) cos ( x ) – sin ( x ) sin ( x ). Esto se simplifica a cos (2 x ) = cos ^ 2 ( x ) – sin ^ 2 ( x ) . ¡Y esa es nuestra fórmula de coseno de doble ángulo!

¿Deberíamos probar este también? Tu amigo del coseno dice que el hecho de que funcione para el seno no significa que funcione con el coseno. Ellos tampoco son gemelos, ¿sabes? Intentémoslo con x = 30 nuevamente. Entonces cos (2 x ) es cos (60). cos (60) es 1/2.

Entonces tenemos cos ^ 2 (30) – sin ^ 2 (30). cos (30) es (raíz 3) / 2. Si cuadramos eso, obtenemos 3/4. Sin (30) es 1/2. Si cuadramos eso, obtenemos 1/4. Entonces tenemos 1/2 = 3/4 – 1/4. 3/4 – 1/4 es 2/4 o 1/2. ¡Así que lo hicimos!

Tangente

¿Qué serían tus amigos seno y coseno sin tangente? Es como Moe y Larry sin Curly, Harry y Ron sin Hermione, Snap y Crackle sin Pop. ¿Rice Krispies que simplemente crujen y crujen? Eso nunca funcionaría.

De todos modos, hablemos de tangente. Nuevamente, ¿cuál es la fórmula de suma tangente?

• tan ( x + y ) = (tan ( x ) + tan ( y )) / (1 – tan ( x ) tan ( y ))

Oh, tangente, eres el Walter de Dude y Donny, tan complicado. Afortunadamente, la tangente se vuelve más simple como fórmula de doble ángulo. Hagamos mágicamente nuestra y s en x s de nuevo, y listo: tan (2 x ) = (tan ( x ) + tan ( x )) / (1 – tan ( x ) tan ( x )). Podemos simplificar eso para obtener tan (2 x ) = 2tan ( x ) / (1 – tan ^ 2 ( x )) .

¿Qué hacemos con las fórmulas de doble ángulo? Los probamos. ¿Deberíamos usar x = 30 de nuevo? Bueno, sabiendo lo que sabemos sobre la tangente (que es lo opuesto sobre la adyacente), usemos x = 60. Eso hará que nuestras matemáticas sean un poco más simples. Así que se ve así: tan (120) = 2tan (60) / (1 – tan ^ 2 (60)). La tangente de 120 es – (raíz 3). La tangente de 60 es (raíz 3). Entonces tenemos – (raíz 3) = (2 (raíz 3)) / (1 – (raíz 3) ^ 2). Elevamos al cuadrado (raíz 3) para obtener 3. 1 – 3 es -2. Entonces tenemos 2 (raíz 3) / -2, que se simplifica a solo – (raíz 3). ¡Parece que lo hicimos de nuevo!

Problema de práctica n. ° 1

Ahora tenemos nuestras tres fórmulas. Para revisar, es:

• sin (2 x ) = 2sin ( x ) cos (x)
• cos (2 x ) = cos ^ 2 ( x ) – sin ^ 2 ( x )
• tan (2 x ) = 2tan ( x ) / (1 – tan ^ 2 ( x )).

Hicimos que sus amigos de trigonometría se sintieran mejor, pero ¿de qué otra manera podríamos usarlos? Es posible que vea un problema similar al siguiente: encuentre el valor de cos (2 x ) si sin ( x ) = 3/5 y x está en el cuadrante II.

Esto parece abrumador, pero nuestro problema está repleto de información útil. Comencemos con ese último bit. Estamos en el cuadrante II. Si dibujamos nosotros mismos una rápida x – y y eje x, sabemos que el ángulo está en algún lugar por aquí. Nuestro triángulo se ve así. Si sin ( x ) es 3/5 y el seno es opuesto sobre la hipotenusa, podemos etiquetar nuestro lado opuesto y la hipotenusa. ¿Adivina qué? ¡Este es un triángulo 3-4-5! (Si no fue así, o si nos olvidamos de los triángulos 3-4-5, siempre podemos usar el Teorema de Pitágoras). Así que este otro lado es 4. Como estamos en el Cuadrante II, es -4. Entonces, cos ( x ) es -4/5.

¡Ahora, a nuestra fórmula!

1. cos (2 x ) = cos ^ 2 ( x ) – sin ^ 2 ( x ).
2. cos (2 x ) = (-4/5) ^ 2 – (3/5) ^ 2.
3. -4/5 al cuadrado = 16/25.
4. 3/5 al cuadrado = 9/25.
5. 16/25 – 9/25 = 7/25.

Entonces cos (2 x ) es 7/25. ¡Esa es nuestra respuesta!

Problema de práctica n. ° 2

Practiquemos uno más. Encuentre sin (2 x ) si tan ( x ) = -2/3 y x está entre 270 y 360 grados.

De nuevo, comencemos por ubicar nuestro ángulo. Entre 270 y 360 grados se encuentra el cuadrante IV. Dado que la tangente es opuesta sobre adyacente, podemos etiquetar nuestro lado aquí -2 y aquí 3.

1. ¿Qué es la hipotenusa? 2 ^ 2 + 3 ^ 2 es 4 + 9, o 13. Entonces, la hipotenusa es la raíz 13.
2. Eso significa sin ( x ) = -2 / (raíz 13).
3. Cos ( x ) será 3 / (raíz 13).
4. ¿Qué es pecado (2 x )? 2 pecado ( x ) cos ( x ). Entonces, eso es 2 * (-2 / (raíz 13)) * 3 / (raíz 13).
5. Empiece con los numeradores. 2 * -2 * 3 es -12.
6. root 13 * root 13 es solo 13.

¡Entonces -12/13 es nuestra respuesta! Como puede ver, si conoce sus fórmulas, todo lo que necesita hacer es hacer un dibujo y luego ingresar sus valores. A partir de ahí, es solo aritmética. Eso debería tranquilizar a los gemelos perdidos hace mucho tiempo.

Resumen de la lección

En resumen, definimos, probamos y practicamos usando fórmulas de doble ángulo. Una fórmula de doble ángulo define la relación entre las funciones trigonométricas y el doble de un ángulo.

Primero miramos la fórmula del seno, que es sin (2 x ) = 2sin ( x ) cos ( x ), luego miramos el coseno, que es cos (2 x ) = cos ^ 2 ( x ) – sin ^ 2 ( x ) . Finalmente, miramos la tangente, que es tan (2 x ) = 2tan ( x ) / (1 – tan ^ 2 ( x )) .

Los resultados del aprendizaje

Una vez finalizada esta lección, debería poder:

• Entender las funciones trigonométricas de la fórmula del doble ángulo
• Explica la fórmula del seno
• Identifica la fórmula del coseno
• Reconoce cómo resuelves la fórmula para la tangente

Rodrigo Ricardo Editor y fundador