La parábola: definición y gráficos

Una parábola

En esta lección en video, hablaremos de parábolas. ¿Qué es una parábola ? Podemos llamarlo arco. Las parábolas son formas realmente útiles que usamos para aplicaciones muy importantes en el mundo. Los ves en uso en esas antenas parabólicas para ver televisión. Las antenas parabólicas también se utilizan para comunicarse con las máquinas que tenemos en el espacio exterior. Debido a todas estas aplicaciones muy útiles, aprender a graficar parábolas a partir de ecuaciones es una habilidad muy útil.

Un hecho interesante que es importante que sepa es que cada parábola tiene un punto llamado foco , donde la distancia desde un punto de la parábola hasta el foco es la misma que la distancia desde ese punto hasta una línea recta debajo de la parábola. Como estamos trabajando en álgebra, por supuesto que tenemos una ecuación para nuestra parábola.

Forma estándar

Cuando graficamos nuestras parábolas, podemos dibujarlas curvándose hacia arriba y hacia abajo o hacia la izquierda y la derecha. Debido a estas dos direcciones diferentes, tenemos dos ecuaciones diferentes para cada una. A las parábolas que se curvan hacia arriba y hacia abajo las llamamos parábolas verticales, ya las parábolas que se curvan hacia los lados, parábolas horizontales.

La forma estándar de una parábola vertical, es ( x – h ) 2 = 4 p ( y – k ), donde h , k y p son números que le dan la localización del foco. Para la parábola vertical, el foco viene dado por el punto ( h , k + p ). Por ejemplo, la parábola ( x – 3) 2 = 8 ( y – 2) tiene un enfoque de (3, 4) ya que nuestra h es igual a 3, nuestra p es igual a 2 y nuestra k es igual a 2. ¿Cómo es que nuestrap es igual a 2? Bueno, la forma estándar tiene 4 p fuera del paréntesis con y , y nuestra ecuación tiene un 8 en su lugar. Entonces, ¿qué multiplicado por 4 me llevará a 8? Es un 2.

La forma estándar de una parábola horizontal es ( y – k ) 2 = 4 p ( x – h ), donde el foco viene dado por el punto ( h + p , k ). Por ejemplo, la parábola ( y – 4) 2 = 4 ( x – 1) tiene un enfoque de (2, 4) ya que nuestra h es igual a 1, nuestra p es igual a 1 y nuestra k es igual a 4. Nuestra p es igual a 1 ya que tenemos un 4 en el lugar de 4 p , y 4 por 1 será igual a 4.

Observe cómo la k siempre está vinculada con la y , y la h siempre está vinculada con la x . La p siempre está vinculada con la parte que no está al cuadrado.

Debido a que estas ecuaciones en forma estándar nos permiten encontrar fácilmente el punto de enfoque, también son muy útiles para nosotros cuando queremos graficar nuestras parábolas. ¿Por qué es esto? Porque una vez que encontramos nuestro punto de enfoque, podemos usar la ubicación del punto de enfoque para encontrar la ubicación de la punta de nuestra parábola. Luego podemos encontrar puntos a cada lado de la punta para poder graficar nuestra parábola. Sigamos adelante y veamos cómo podemos hacer esto.

Graficar una parábola vertical

¿Por qué no seguimos adelante y graficamos la parábola vertical ( x – 3) 2 = 8 ( y – 2)? Ya encontramos el foco de (3, 4). La forma en que vamos a encontrar la ubicación de la punta de nuestra parábola es tomar el valor x de nuestro foco y conectarlo a nuestra ecuación de la parábola para encontrar el valor y de la punta. Estamos usando el valor x porque nuestras parábolas están mirando hacia arriba y hacia abajo, por lo que nuestro arco se inclina hacia arriba y hacia abajo de izquierda a derecha. Si conectamos nuestro valor x de 3, obtenemos (3 – 3) 2 = 8 ( y – 2), que se convierte en 0 = 8 ( y – 2). Para resolver por y, dividimos por 8 en ambos lados, y luego sumamos el 2. Haciendo esto obtenemos 0 = y – 2, que se convierte en y = 2. Entonces, nuestra punta de nuestra parábola es (3, 2).

Ahora podemos seguir adelante y trazar dos puntos a cada lado de nuestra punta para ver cómo se curva nuestra parábola. Sustituiremos x = 2, x = 1, x = 4 y x = 5 para ver cómo nuestra parábola se curva a cada lado de la punta. Cada vez, conectaremos nuestra x y luego resolveremos para y . Podemos construir una tabla de nuestros puntos para trazar una vez que lleguemos a la parte real de la gráfica.

¿Observa cómo los puntos a cada lado de la punta coinciden entre sí en su valor y ? Eso te dice que estás haciendo algo bien. Ahora que tenemos nuestros puntos, podemos seguir adelante, graficarlos y luego dibujar nuestro arco.

Parábola vertical

Observe cómo los puntos le muestran cómo comienza la curva. Todo lo que tienes que hacer es seguir esta curva y obtendrás tu parábola.

Graficar una parábola horizontal

Acabamos de graficar una parábola vertical. ¿Qué hay de graficar una parábola horizontal? Probemos uno de estos también. Graficaremos la parábola ( y – 4) 2 = 4 ( x – 1). Ya encontramos el foco de (2, 4). Aquí, en lugar de conectar x para encontrar nuestra y , conectaremos nuestra y para encontrar nuestra x . Entonces, para encontrar nuestra propina, conectaremos nuestro valor y de nuestro foco para encontrar el valor x de nuestra propina. Reemplazando nuestro valor y de 4 obtenemos (4 – 4) 2 = 4 ( x – 1). Resolviendo esto para x da x = 1. Entonces, la punta de nuestra parábola está ubicada en (1, 4).

Recuerde ahora que nuestra parábola se abre hacia un lado, así que en lugar de ir a cualquier lado de nuestra punta usando el valor x , ahora iremos a cualquier lado de nuestra punta usando el valor y . Entonces, ingresaremos dos valores de y por encima de nuestra propina y dos valores de y por debajo de nuestra propina. Encontraremos nuestra x para y = 3, y = 2, y = 5 e y = 6. Haremos lo mismo que antes y construiremos una tabla.

Ahora podemos seguir adelante y trazar los puntos y luego dibujar la curva como lo hicimos antes. Solo recuerda que ahora nuestra curva es lateral u horizontal.

Resumen de la lección

Ahora, repasemos lo que hemos aprendido. Hemos aprendido que una parábola se parece a un arco. Las antenas parabólicas son ejemplos reales de parábolas. Un hecho interesante sobre las parábolas es que tienen un punto llamado foco , donde la distancia desde un punto de la parábola al foco es la misma que la distancia desde ese punto a una línea recta debajo de la parábola.

Aprendimos que hay dos formas diferentes de ecuación en forma estándar para parábolas. La forma estándar de una parábola vertical , una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo, es ( x – h ) 2 = 4 p ( y – k ), donde el foco es ( h , k + p ). La forma estándar de una parábola horizontal , una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha, es ( y – k ) 2 = 4 p ( x – h ), donde el foco es ( h +p , k ).

Para graficar una parábola vertical, conectamos el valor x de nuestro punto de enfoque en nuestra ecuación de la parábola para encontrar el valor y de la punta de nuestra parábola. Luego elegimos dos valores de x a cada lado de la punta de nuestra parábola para ver cómo se curva la parábola. Encontramos los valores de y para estos valores de x y luego graficamos los puntos y luego dibujamos nuestra parábola. Para graficar una parábola horizontal, conectamos el valor y de nuestro punto de enfoque en nuestra ecuación de la parábola para encontrar el valor x de la punta de nuestra parábola. Luego elegimos dos valores de y a cada lado de la punta. Evaluamos nuestra ecuación de parábola para encontrar la xvalor en estos valores de y . Luego trazamos los puntos y dibujamos nuestra parábola.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, debería tener la capacidad de:

• Definir el foco de una parábola
• Identificar la ecuación de forma estándar y los puntos de enfoque de una parábola vertical y horizontal
• Explica cómo graficar una parábola vertical y una horizontal.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador