¿Qué es el movimiento armónico simple?
El movimiento armónico simple es cualquier movimiento en el que se aplica una fuerza de restauración que es proporcional al desplazamiento y en la dirección opuesta a ese desplazamiento. O en otras palabras, cuanto más lo tira hacia un lado, más quiere volver al medio. El ejemplo clásico de esto es una masa en un resorte, porque cuanto más se estira la masa, más se siente un tirón hacia el centro. Una masa sobre un resorte puede ser vertical, en cuyo caso interviene la gravedad, u horizontal sobre una mesa lisa.
Si imagina tirando de una masa en un resorte y luego soltándola, rebotará hacia adelante y hacia atrás alrededor de una posición de equilibrio en el medio. Como con todo movimiento armónico simple, la velocidad será mayor en el medio, mientras que la fuerza restauradora (y por lo tanto la aceleración) será mayor en los bordes exteriores (en el desplazamiento máximo). Otro ejemplo de movimiento armónico simple es un péndulo, aunque solo si oscila en pequeños ángulos.
Ecuaciones
Hay muchas ecuaciones para describir el movimiento armónico simple. El primero que veremos, a continuación, nos dice que el período de tiempo de un resorte oscilante, T , medido en segundos, es igual a 2pi multiplicado por la raíz cuadrada de m sobre k , donde m es la masa del objeto conectado al resorte medido en kilogramos, y k es la constante del resorte (una medida de elasticidad) del resorte. El período de tiempo es el tiempo que le toma a un objeto completar un ciclo completo de su movimiento periódico, como el tiempo que le toma a un péndulo hacer un movimiento completo hacia adelante y hacia atrás.
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Todo movimiento armónico simple es sinusoidal. Esto se puede ilustrar mejor visualmente. Como puede ver en nuestra animación (vea el video en 01:34), una masa en un resorte que experimenta un movimiento armónico simple se ralentiza en la parte superior e inferior, antes de aumentar gradualmente la velocidad nuevamente a medida que se acerca al centro. Pasa más tiempo en la parte superior e inferior que en el medio. Matemáticamente, cualquier movimiento que tenga una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento desde la posición de equilibrio variará de esta manera.
Por eso, la ecuación principal que se muestra a continuación tiene la forma de una curva sinusoidal. Dice que el desplazamiento es igual a la amplitud de la variación, A , también conocido como desplazamiento máximo, multiplicado por el seno omega- t , donde omega es la frecuencia angular de la variación y t es el tiempo. Este desplazamiento puede ser en la dirección x o en la dirección y , dependiendo de la situación. Una masa vertical en un resorte varía en la dirección y sinusoidalmente. Una masa horizontal en un resorte varía sinusoidalmente en la dirección x . Un péndulo tiene tal variación en ambas direcciones.
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Esta ecuación tiene un seno y un gráfico de seno comienza en cero. Usar esta ecuación es como poner en marcha su cronómetro matemático en medio de un movimiento pendular: t = 0 está en el centro de la oscilación. Si, por otro lado, reemplaza el seno con un coseno, entonces la ecuación sigue siendo correcta; en cambio, recién está comenzando a medir el tiempo en el desplazamiento máximo.
Pero también necesitamos definir la frecuencia angular. La frecuencia angular es el número de radianes de la oscilación que se completan cada segundo. Un total de 360 grados es 2pi radianes, y eso representa una oscilación completa: desde el medio, hasta un resorte completamente estirado, de regreso al medio, hasta un resorte completamente comprimido y luego de regreso al centro nuevamente. Puede convertir la frecuencia angular en frecuencia regular dividiéndola por 2pi. La frecuencia regular , f , solo le indica el número de ciclos completos por segundo, medidos en hercios.
También vale la pena señalar que el período de tiempo, T , como se usó en la primera ecuación, es igual a 1 dividido por la frecuencia, f . Entonces, debido a esa conexión, puede obtener una pregunta que cruza entre estas tres ecuaciones.
Problema de ejemplo
Bien, veamos un ejemplo. Tenemos una masa en un resorte, con una masa de 4 kilogramos y una constante de resorte de 6 N / m. El desplazamiento máximo del resorte es de 0,8 metros. ¿Cuál es el período de tiempo de la masa en el resorte? ¿Y cuál es el desplazamiento después de 0,6 segundos? El cronómetro comienza cuando la masa del resorte pasa por la posición de equilibrio (por el medio).
Bien, primero que nada, debemos escribir lo que sabemos. La masa en el resorte, m = 4 kg. La constante de resorte, k es 6 N / s. La amplitud (o desplazamiento máximo), A , es 0,8 my el tiempo, t , es 0,6. Estamos tratando de encontrar T y x .
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En primer lugar, para encontrar T , simplemente introducimos números en la primera ecuación y resolvemos. 2pi multiplicado por la raíz cuadrada de 4 dividido por 6. Eso resulta en 5,13 segundos.
Ahora, necesitamos encontrar el desplazamiento, x . Usaremos la versión sinusoidal de la ecuación de desplazamiento, ya que el cronómetro comienza cuando la masa del resorte pasa por la posición media. Para encontrar el desplazamiento, primero necesitamos la frecuencia angular, omega. Tenemos todo lo demás en la ecuación de desplazamiento: tanto el tiempo como la amplitud. No tenemos frecuencia angular y no tenemos frecuencia regular, f , pero tenemos el período de tiempo de la parte anterior. Uno dividido por el período de tiempo es la frecuencia, entonces 1 / 5.13 = 0.195 Hz. Y para obtener la frecuencia angular, simplemente multiplicamos esta frecuencia regular por 2pi, lo que resulta en 1,23 radianes por segundo.
Por fin, finalmente podemos insertar números en la ecuación de desplazamiento. El desplazamiento es igual a 0,8 metros multiplicado por el seno de 1,23 por 0,6. Asegúrate de que tu calculadora esté en modo radianes, escríbelo y obtendrás 0,54 metros. Y eso es; hemos terminado!
Resumen de la lección
El movimiento armónico simple es cualquier movimiento donde se aplica una fuerza de restauración que es proporcional al desplazamiento y en la dirección opuesta a ese desplazamiento. En otras palabras, cuanto más lo tira en una dirección, más quiere volver al medio. El ejemplo clásico de esto es una masa en un resorte, porque cuanto más lo estiras, más sientes un tirón hacia el centro. Con cualquier movimiento armónico simple, la velocidad es mayor en el medio, pero la fuerza de restauración (y por lo tanto la aceleración) es mayor en el desplazamiento máximo (ahí es cuando el resorte está más estirado o más comprimido).
Las ecuaciones discutidas en esta lección se pueden usar para resolver problemas que involucran movimiento armónico simple. En estas ecuaciones, x es el desplazamiento del resorte (o el péndulo, o lo que sea que esté en movimiento armónico simple), A es la amplitud, omega es la frecuencia angular, t es el tiempo, g es la aceleración debida a la gravedad (que siempre es 9,8), T es el período de tiempo de la oscilación, m es la masa del objeto que se mueve bajo un movimiento armónico simple yf es la frecuencia regular (no angular).
Reacciones de desplazamiento simple y doble
Los resultados del aprendizaje
Una vez que haya completado esta lección, debería poder:
- Definir movimiento armónico simple
- Describe la velocidad, la fuerza de restauración y la aceleración del movimiento armónico usando el ejemplo de una masa en un resorte.
- Explica cómo usar ecuaciones para resolver problemas de movimiento armónico.
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