Operaciones de fila y reducciones con matrices aumentadas

¿Qué es una matriz aumentada?

Una vez que haya escrito las variables x , y , z por centésima vez mientras intenta resolver sistemas lineales, comenzará a darse cuenta de que no se trata de las variables. Las únicas cosas con las que trabajará son los coeficientes (productos delante de cada variable) y las constantes (términos sin variable).

Cualquier sistema lineal puede representarse como una matriz aumentada , que es una matriz de filas y columnas que representan los coeficientes y constantes presentes en el sistema original de ecuaciones. Cada columna de la matriz básica representa una de las variables y los números de la columna extendida (la más alejada a la derecha) representan las constantes. Por ejemplo, si un sistema lineal contiene las siguientes ecuaciones, entonces la matriz aumentada resultante (que hemos llamado ‘M’) será como se muestra.

Sistema de tres ecuaciones

Matriz de tres ecuaciones

Observe que solo los coeficientes y los valores constantes aparecen en la matriz (sin x , y , ni z ). Cada celda de una matriz tiene una dirección: la versión en minúsculas del nombre de la matriz, el número de fila y luego el número de columna. Dado que nuestra matriz se llama ‘M’, por ejemplo, cada celda tendrá una m minúscula seguida de la fila y la columna de la celda. La esquina superior izquierda de la matriz se llamará m 11 y la celda inferior derecha será m 34.

Direcciones de celda de matriz

Resolver un sistema lineal de tres ecuaciones usando operaciones matriciales

Para resolver este sistema lineal, debemos reducir las filas a la forma escalonada de filas reducida , que se verá como la figura siguiente pero contendrá valores en lugar de signos de interrogación.

Forma de matriz escalonada de filas reducida

Cada variable está representada en una de las filas por un 1. Esto significa que el número que aparece en la cuarta columna será el valor de esa variable. El valor de x aparecerá en la primera fila, el valor de y en la segunda fila y el valor de z en la tercera fila. Una vez que sepamos qué números deben reemplazar los signos de interrogación, ¡nuestro trabajo habrá terminado!

Para alcanzar la forma escalonada de filas reducida, utilizaremos dos operaciones básicas en las filas de la matriz.

1. Podemos multiplicar o dividir cualquier fila por cualquier valor que queramos.
2. Podemos reemplazar cualquier fila con una suma de dos filas.

En cada columna, reduciremos el valor de la variable a 1 (primera variable, primera columna y fila, segunda variable, segunda columna y fila, etc.), luego reduciremos los otros dos valores en esa columna a ceros. ¡Bien, aquí va!

1. Divida la primera fila por el valor en m 11. Esto reducirá m 11 a 1.

2. Reduzca la celda m 21 (primera celda de la segunda fila) a 0 sumando dos filas. Si multiplicamos la primera fila por -3 y luego la agregamos a la segunda fila, veremos que m 21 va a 0.

3. Reducir la celda m 31 (primer número de la tercera fila) a 0. Usaremos el mismo método que hicimos para m 21, esta vez multiplicando la primera fila por -5 y luego agregándola a la tercera fila.

4. Coloque nuestro segundo 1 en su lugar, esta vez en la columna del medio. Para hacer eso, dividiremos la segunda fila por -2.5, que es el valor en m 22. Observe cómo nuestra segunda fila se adapta muy bien con todos los 1 y -1.

5. Ahora establezcamos ceros en nuestra primera y tercera filas para la segunda columna. Podemos despejar m 12 multiplicando nuestra segunda fila por -1,5 y luego sumándola a la primera fila.

6. Haremos lo mismo para la tercera fila, usando la segunda fila multiplicada por 9.5.

¡Estamos progresando! Falta una columna más y terminamos.

7. Reducir m 33 a 1. Para hacer eso, dividiremos la tercera fila por -10.

8. ¡Casi terminado! Ahora reduzcamos m 13 y m 23 a 0, luego tendremos valores para cada una de nuestras variables. Para despejar m 13, multiplicaremos nuestra tercera fila por -2 y luego la agregaremos a la primera fila.

9. Bien, último paso. Borraremos el valor restante en m 23 sumando esa fila a la fila 3 y luego colocando la suma en la fila 2.

Y ahí está. Podemos ver que para este problema x es 1, y es 2 yz es 3. Reducir matrices de esta manera (¡especialmente después de que te acostumbras!) Puede ser un método mucho más simple para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables que tratar de trabajar con las ecuaciones completas.

Resumen de la lección

Una matriz aumentada muestra los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, incluidas las constantes, configurándolas en filas y columnas. Cada fila representa una ecuación y cada columna representa una de las variables o el conjunto de constantes. Resolvemos estos sistemas reduciendo la matriz a la forma escalonada de filas reducida , como se muestra arriba, donde cada variable tiene un 1 (filas diferentes) y un valor constante, y todo lo demás es 0. Recuerde,

1. Reducirá los valores que desea que sean 1 dividiendo y los valores que no desea que sean 0 mediante eliminación (sumando dos ecuaciones para eliminar una variable).
2. Haga el 1, luego los 0 en cada columna, comenzando por la izquierda.
3. Cuando haya terminado, los 1 representarán las variables y los valores de la columna de constantes serán los valores de esas variables.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador