¿Qué es una matriz?
Una matriz es una matriz de términos que pueden ser variables, números o una combinación de ambos organizados en filas y columnas. Las matrices (plural de matriz) son siempre rectangulares. Las matrices pueden contener solo dos términos organizados en 2 columnas o 2 filas o pueden ser mucho más grandes y tener cualquier número de filas y columnas. La tabla de multiplicar para los dígitos del 1 al 12 se puede escribir como una matriz de 12 filas y 12 columnas.
Las matrices son muy útiles en el campo de las matemáticas cuando es necesario trabajar con un grupo de términos. En lugar de realizar las operaciones deseadas término por término, las operaciones deseadas se pueden realizar en todos los términos juntos cuando se colocan en una matriz. También son útiles en ingeniería, óptica y física.
A continuación se muestra un ejemplo de una matriz que muestra los montos de gasto diario promedio de tres familias.
{eq}\begin{bmatrix} 45\\ 128\\ 73 \end{bmatrix} {/eq}
Esta matriz tiene 3 filas y 1 columna, por lo que tiene un tamaño de matriz de 3×1. Esta matriz también se puede escribir como una matriz de 1×3 si es necesario para que tenga 1 fila y 3 columnas.
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¿Qué es la teoría de matrices?
La Teoría de matrices se define como el estudio de matrices e incluye el estudio de matrices para ayudar a resolver problemas, además de encontrar más usos de las matrices para resolver problemas complicados. Por ejemplo, las matrices se utilizan en gráficos por computadora para representar rotaciones de imágenes. En física teórica, las matrices se utilizan para resolver problemas relacionados con la potencia de salida de la batería y las conversiones de energía mediante resistencias.
En física cuántica, la teoría de matrices aleatorias (RMT) se desarrolló en la década de 1950 y continúa avanzando. Un cambio en la forma en que se utilizaba la RMT en 1998 permite ahora a los físicos describir el comportamiento de los núcleos atómicos, los átomos complejos y las moléculas complejas. Wigner diseñó RMT originalmente para trabajar con valores propios y funciones propias de sistemas cuánticos complejos en 1959.
Curiosamente, la teoría matricial surgió por primera vez a través del determinante de una matriz cuadrada de números. James Sylvester introdujo el término matriz en el siglo XIX. Fue Arthur Cayley, amigo de Sylvester, quien desarrolló el aspecto operativo de las matrices en la década de 1850, aplicándolo a sistemas de ecuaciones lineales. Las matrices se utilizaron por primera vez para ayudar a resolver sistemas de ecuaciones lineales y se siguen utilizando con ese propósito en la actualidad.
Operaciones matriciales básicas
Las operaciones matriciales básicas son la suma, la resta y la multiplicación. La suma se usa cuando es necesario combinar dos matrices y la resta se usa cuando es necesario restar una matriz de otra matriz. La suma y resta de matrices siguen las mismas reglas que la suma y resta de números. Las matrices deben tener el mismo tamaño, es decir, tener el mismo número de filas y columnas, para poder sumarlas o restarlas. Cuando se suman o restan matrices, los términos correspondientes en los términos se suman o restan.
A continuación se muestran dos matrices que se agregan. Observe cómo se suman los términos correspondientes de cada matriz.
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{eq}\begin{bmatrix} 2 & 8 & 7\\ 1 & 6 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1\\ 0 & 8 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 11 y 11 8\\ 1 & 14 y 14 10 \end{bmatrix} {/eq}
Los términos 2 y 4 se agregan porque son términos correspondientes y ambos son el primer término en la primera fila y el primer término en la primera columna. Los términos 8 y 3 se suman para formar 11 porque son términos correspondientes. Ambos se ubican en el segundo término de la primera fila y en el primer término de la segunda columna.
La resta de dos matrices también se realiza de la misma manera. Los términos correspondientes se restan entre sí. Aquí hay un ejemplo.
{eq}\begin{bmatrix} 23 & 8 & 37\\ 11 & 26 y 26 48 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 14 & 3 & 41\\ 10 & 18 y 18 años 50 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 5 y 5 -4\\ 1 & 8 & -2 \end{bmatrix} {/eq}
La multiplicación de matrices se realiza de manera diferente a la multiplicación de números. Cuando se multiplican dos matrices, el producto escalar se calcula para las filas y columnas correspondientes. Por ejemplo, para encontrar el resultado del término ubicado en la segunda fila y la tercera columna, se encuentra el producto escalar de la segunda fila de la primera matriz y la tercera columna de la segunda matriz. El producto escalar se encuentra multiplicando los términos correspondientes y luego sumándolos. Al multiplicar matrices, la primera matriz debe tener el mismo número de columnas que filas en la segunda matriz. Si la primera matriz tiene 3 columnas, entonces la segunda matriz debe tener 3 filas. A continuación se muestra un ejemplo de multiplicación de matrices.
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Las filas de la primera matriz se multiplican por puntos con las columnas de la segunda matriz hasta que se hayan realizado todas las combinaciones de filas y columnas. Observe cómo cada fila de la primera matriz es un punto multiplicado por la primera columna de la segunda matriz. Los términos correspondientes (el primer término de la primera matriz y el primer término de la segunda matriz, el segundo término de la primera matriz y el segundo término de la segunda matriz, y así sucesivamente) se multiplican y luego se suman para encontrar el término resultante para esa ubicación en la matriz del producto.
{eq}\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 2 & 0\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3\\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3(2) + 1(1) & 3(4) + 1(0) & 3(3) + 1(-1)\\ 2(2) + 0(1) & 2(4) + 0(0) & 2(3) + 0(-1)\\ 1(2) + 2(1) & 1(4) + 2(0) & 1(3) + 2(-1) \end{bmatrix} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = \begin{bmatrix} 7 & 12 y 12 8\\ 4 & 8 & 6\\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} {/eq}
El tamaño de la matriz resultante tendrá el mismo número de filas que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda matriz. En el ejemplo anterior, la primera matriz tiene 3 filas mientras que la segunda matriz tiene 3 columnas. La matriz resultante tendrá 3 filas y 3 columnas.
Aplicaciones de la teoría de matrices
La teoría de matrices tiene aplicaciones en muchos campos. En matemáticas, se utiliza para ayudar a resolver sistemas de ecuaciones lineales. En física, se utiliza para ayudar a resolver problemas de física cuántica. También se utiliza en los campos de las comunicaciones, los gráficos por computadora y la criptografía. En geometría, las matrices se pueden utilizar para describir movimientos de objetos geométricos, como rotaciones y reflexiones. Hay matrices que se utilizan para transformar objetos en el espacio bidimensional y hay matrices que se utilizan para transformar objetos en el espacio tridimensional.
Ejemplos de matrices
Un ejemplo del uso de matrices en criptografía es el del cifrado de datos. El cifrado de datos es importante ya que garantiza que sólo personas específicas puedan acceder a los datos, normalmente el remitente y el receptor. Para el cifrado, se utilizan matrices para convertir señales digitales, ya sea de audio o de vídeo, en cadenas de números enteros. Luego, la clave invertible se utiliza para descifrar la señal resultante y convertirla nuevamente en la señal digital original. Para estos procesos se utiliza la operación de multiplicación de matrices.
Otro ejemplo de matrices en uso es el campo de los gráficos por computadora. Las matrices se utilizan para describir imágenes y cada entrada de la matriz es el valor de color de un píxel específico. Las matrices también se utilizan para transformar imágenes 3D en imágenes 2D para la pantalla.
Resumen de la lección
En revisión, cuando los términos se organizan en filas y columnas para convertirse en una matriz de términos, el grupo de términos se denomina matriz. Teoría de matrices, el estudio de matrices, continúa avanzando a medida que matemáticos, científicos y físicos la estudian para ayudarlos a resolver problemas del mundo real. Los físicos han desarrollado la teoría de matrices aleatorias (RMT) para ayudarles a describir comportamientos. Desarrollado por primera vez en 1959 para trabajar con valores propios y funciones propias, desde entonces se ha desarrollado aún más. En 1998, RMT avanzó para permitir la descripción de comportamientos de núcleos atómicos, átomos complejos y moléculas complejas. La teoría de matrices también se utiliza en los campos de las comunicaciones, los gráficos por ordenador y la criptografía.
Las operaciones matriciales incluyen suma, resta y multiplicación. Para sumar o restar dos matrices, ambas deben tener el mismo tamaño y el mismo número de filas y columnas. Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. El producto escalar se utiliza para encontrar cada entrada en la matriz de producto resultante.
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