Órbitas elípticas: períodos y velocidades

¿Qué es una órbita elíptica?

Las órbitas de los planetas pueden parecer circulares, pero en realidad no lo son. En realidad, son círculos aplastados de forma ovalada en varios estados de aplastamiento.

Una elipse es un óvalo. Entonces, una órbita elíptica es una órbita de forma ovalada. Aunque para ser más precisos, es cualquier cosa, desde una órbita circular hasta una órbita que no es del todo parabólica. Una órbita elíptica se define oficialmente como una órbita con una excentricidad menor que 1. Las órbitas circulares tienen una excentricidad de 0, y las órbitas parabólicas tienen una excentricidad de 1. Entonces, las órbitas circulares técnicamente SON elípticas. Pero las órbitas parabólicas NO son elípticas.

La mayoría de las órbitas de los planetas son en realidad bastante circulares. Las excepciones incluyen Plutón y Mercurio que tienen excentricidades de aproximadamente 0,25. Todavía bastante cerca de cero, pero definitivamente no circular.

Pero esto es física, por lo que queremos ecuaciones para describir estas órbitas elípticas. Johannes Kepler, un matemático alemán del siglo XVII, fue el primero en tomar las leyes de Newton y aplicarlas a lo que sucedería si las órbitas no fueran perfectamente circulares. A través de ese trabajo, se le ocurrió lo que más tarde se conoció como las leyes de Kepler , una serie de leyes que describen el movimiento de los cuerpos en órbita sin importar la forma de la órbita. Y estas leyes forman la base de nuestra comprensión de los cuerpos en órbita hasta el día de hoy.

Ecuaciones de período y velocidad

Para calcular el período de tiempo de una órbita, el tiempo que lleva completar una órbita completa, necesitamos usar la versión de la ecuación de la Tercera Ley de Kepler. La ecuación de la Tercera Ley nos dice que el cuadrado del período de tiempo, T (medido en segundos), dividido por el radio máximo de la órbita, r (medido en metros), al cubo, es igual a (4pi) ^ 2, dividido por la constante gravitacional big G (que siempre es 6,67 x 10 -11 m 3 / (kg s 2 )), multiplicada por la masa de la estrella, M (medida en kilogramos).

T ^ 2 / r ^ 3 = (4 ∗ π ^ 2) / GM

Técnicamente, para hacer esto correctamente, M es realmente la masa de la estrella agregada a la masa del objeto en órbita, pero muy a menudo el objeto en órbita es mucho más pequeño que la estrella que bien podría simplemente poner la masa de la estrella. .

La ecuación para la velocidad orbital, v , del objeto en órbita viene dada por esta ecuación, que también puede derivarse de las leyes de Kepler:

Dice que la velocidad orbital, v (medida en metros por segundo), es igual a la raíz cuadrada de la constante gravitacional big G , multiplicada por la masa de la estrella, M (medida en kilogramos), medida por 2 sobre la distancia entre los cuerpos en órbita en metros, menos 1 sobre la distancia máxima entre los dos cuerpos (también conocida como la longitud del semieje mayor).

Entonces, si tiene todas las variables que faltan, simplemente puede insertar números y resolver.

Ejemplo de cálculo

Bien, ahora es el momento de analizar un ejemplo de cómo usar las ecuaciones. Digamos que una pequeña roca está orbitando una gran roca a una distancia máxima de 1 x 10 ^ 14 metros. Si la masa de la roca grande es 4 x 10 ^ 40 kilogramos, ¿cuál es el período de tiempo de la órbita? ¿Y cuál es la velocidad orbital de la pequeña roca cuando las dos rocas están separadas por 5 x 10 ^ 13 metros?

En primer lugar, como de costumbre, debemos anotar lo que tenemos. Sabemos que el radio máximo, r , es 1 x 10 ^ 14 metros, y sabemos que la masa de la roca grande, M , es 4 x 10 ^ 40 kg. Eso es todo lo que realmente necesitamos para el primer cálculo, donde se nos pide que encontremos T , el período de tiempo, por lo que T es igual al signo de interrogación.

Sustituya estos números en la ecuación de la Tercera Ley y resuelva para T , y encontramos que T = (4pi ^ 2 * (1 x 10 ^ 14 metros) ^ 3) / ((6,67 x 10-11 m 3 / (kg s 2 )) * (4 x 10 ^ 40 kg)). Escribe todo eso en una calculadora y obtenemos un período de tiempo de 3,85 x 10 ^ 6 segundos.

Luego, podemos usar la segunda ecuación para encontrar la velocidad orbital de la roca pequeña cuando las dos rocas están separadas por 5 x 10 ^ 13 metros. Ese número adicional es el valor de r en la segunda ecuación. Y cuál era nuestro valor de r en la última ecuación ahora se llama a en esta ecuación.

Entonces a = 1 x 10 ^ 14 metros. También tenemos que la masa de la roca grande, M = 4 x 10 ^ 40 kilogramos. Reemplaza todos estos números en la ecuación y resuelve v para encontrar:

Escriba todo eso en una calculadora para obtener una velocidad orbital de 2.8 x 10 ^ 8 metros por segundo.

Si eres agudo, es posible que notes lo poco realistas que son estos números. Eso pondría la órbita cerca de la velocidad de la luz … ¡no es muy probable!

Resumen de la lección

Las órbitas de los planetas pueden parecer circulares, pero en realidad no lo son. Son círculos aplastados de forma ovalada en varios estados de blandura. Una órbita elíptica se define oficialmente como una órbita con una excentricidad menor que 1. Las órbitas circulares tienen una excentricidad de 0, y las órbitas parabólicas tienen una excentricidad de 1. Entonces las órbitas circulares SON elípticas, pero las órbitas parabólicas NO son elípticas.

Para calcular el período de tiempo de una órbita, el tiempo que lleva completar una órbita completa, necesitamos usar la versión de la ecuación de la Tercera Ley de Kepler. La ecuación de la Tercera Ley nos dice que el cuadrado del período de tiempo, T (medido en segundos), dividido por el radio máximo de la órbita, r (medido en metros), al cubo, es igual a (4pi) ^ 2, dividido por la constante gravitacional big G (que siempre es 6,67 x 10 -11 m 3 / (kg s 2 )),), multiplicada por la masa de la estrella, M (medida en kilogramos).

T ^ 2 / r ^ 3 = (4pi) ^ 2 / GM

Técnicamente, para hacer esto correctamente, M es realmente la masa de la estrella agregada a la masa del objeto en órbita, pero muy a menudo el objeto en órbita es mucho más pequeño, que bien podría simplemente poner la masa de la estrella.

La ecuación para la velocidad orbital, v , del objeto en órbita se ve así:

Esta ecuación también se puede derivar de las leyes de Kepler. Dice que la velocidad orbital, v (medida en metros por segundo), es igual a la raíz cuadrada de la constante gravitacional big G , multiplicada por la masa de la estrella, M , multiplicada por 2 sobre la distancia entre los cuerpos en órbita. en metros, menos 1 sobre la distancia máxima entre los dos cuerpos (también conocida como la longitud del semieje mayor), que también se mide en metros.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, tendrá la capacidad de:

• Definir órbita elíptica
• Resuma la importancia de las leyes de Kepler
• Explica cómo encontrar el período de tiempo de una órbita y la velocidad orbital usando ecuaciones derivadas de las leyes de Kepler.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador