Variación
Las ecuaciones con variación directa e inversa suenan un poco intimidantes, pero en realidad, son solo dos formas diferentes de hablar sobre cómo cambia un número en relación con otro número.
En variación directa , a medida que aumenta un número, también aumenta el otro. Esto también se llama proporción directa: son lo mismo. Un ejemplo de esto es la relación entre edad y altura. A medida que aumenta la edad en años de un niño, también aumentará la altura.
En abstracto, podemos expresar la variación directa usando la ecuación y = kx.
x e y son las dos cantidades – en nuestro ejemplo, serían la edad y la altura del niño. k se llama constante de proporcionalidad: le dice específicamente cuánto más grande será y por cada aumento de x . Por ejemplo, tal vez y = 2 x : esto significa que por cada aumento de x , y aumentará el doble de esa cantidad.
Puede ver que cuanto mayor sea el número que ingrese para x , mayor será el valor resultante de y .
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En variación inversa , es exactamente lo contrario: a medida que un número aumenta, el otro disminuye. Esto también se llama proporción inversa. Un ejemplo sería la relación entre el tiempo que pasas haciendo tonterías en clase y tu calificación a mitad de período. Cuanto más tonterías, menor será tu puntuación en la prueba.
Si quisiéramos darle a este una ecuación, diríamos:
y = k / x , donde x y y son las dos cantidades, y k es todavía la constante de proporcionalidad, diciéndole cuánto uno varía cuando los otros cambios.
Puedes ver que en esta ecuación, divides un número constante entre x para obtener el valor de y . Entonces, cuanto mayor sea el valor de x , menor será el valor de y . Eso es variación inversa: a medida que uno sube, el otro baja.
Ejemplo 1
Esto puede parecer realmente complicado y confuso, pero recuerde las dos fórmulas: y = kx para variación directa e y = k / x para variación inversa. A medida que practique con problemas de ejemplo, aprenderá a aplicarlos a problemas específicos.
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Un ejemplo muy simple es un problema como este:
La población de una determinada especie de bacteria varía directamente con la temperatura. Cuando la temperatura es de 35 grados Celsius, hay 7 millones de bacterias. ¿Cuántos millones de bacterias hay cuando la temperatura es de 38 grados Celsius?
En primer lugar, podemos ver que usaremos la ecuación de variación directa, y = kx .
Ahora conectemos lo que tenemos del problema:
El problema nos da dos valores: temperatura y número de bacterias. Introduciremos la temperatura para x y el número de bacterias para y . Esto nos da 7 = k (35).
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Ahora todo lo que tenemos que hacer es dividir para encontrar el valor de k para este problema en particular: resulta ser 0.2.
El siguiente paso es usar ese valor para averiguar cuántos millones de bacterias hay a 38 grados Celsius. Entonces, usamos la ecuación nuevamente.
Esta vez, conectaremos x y k , ya que estamos buscando y . Encontramos que y = (0.2) (38). Haga la multiplicación y aprenderemos que y , o el valor de la población en millones es 7,6. Entonces, la respuesta a esta pregunta sería 7.6 millones de bacterias.
Eso no fue tan doloroso, ¿verdad? Se trata solo de usar las ecuaciones correctamente. Ahora intentemos uno que sea un poco más difícil.
Ejemplo 2
El cuadrado de a varía inversamente con la suma de tres y b . Si k representa la constante de proporcionalidad, a continuación, en términos de b y k , ¿cuál es el valor de una ?
Este es un hueso duro de roer porque el problema le da un valor para un cuadrado, pero le pregunta sobre el valor de a . Parece bastante impenetrable al principio, pero no se asuste. Saque sus ecuaciones y comience a conectar cosas.
En primer lugar, sabemos que usaremos aquí la variación inversa. Así que tenemos nuestra ecuación a mano: y = k / x .
Ahora vamos a ir poco a poco a través de las cosas problemáticas y enchufe. En primer lugar, no tenemos edad simplemente una , tenemos un cuadrado. Pero eso no es tan terrible: la variación se define en términos de un cuadrado, así que solo pondremos un cuadrado para y . También podríamos conectarlo para x ; no importa, siempre y cuando seas constante. En este problema, estamos tratando de aislar a , por lo que tiene más sentido ponerlo solo en un lado de la ecuación; esto facilitará las matemáticas más adelante.
Luego, tenemos ‘la suma de 3 y b , o en términos matemáticos, b + 3 en lugar de la vieja b simple . Nuevamente, no hay problema: simplemente ingrese ‘b + 3′ para el valor de x en la parte inferior de la fracción.
Eso es la mayor parte del trabajo ya realizado: ahora tenemos una ecuación que relacione una y b . Ahora solo necesitamos resolver para a , entonces sacaremos la raíz cuadrada de ambos lados. ¡Voila! a es igual a la raíz cuadrada de k sobre b más 3!
Es un desafío, pero no imposible.
Resumen de la lección
En esta lección, aprendió cómo abordar problemas de variación directa e inversa mediante el uso de las ecuaciones para cada uno.
Para la variación directa, use la ecuación y = kx , donde k es la constante de proporcionalidad.
Para la variación inversa, use la ecuación y = k / x , nuevamente, con k como la constante de proporcionalidad.
Recuerde que estos problemas pueden usar la palabra ‘proporción’ en lugar de ‘variación’, pero significa lo mismo.
A veces tendrás que trabajar en relaciones proporcionales que se complican un poco, como insertar x al cuadrado en lugar de x simple , pero con estas dos ecuaciones en tu haber, deberías poder manejarlas.
Los resultados del aprendizaje
Una vez que haya terminado de revisar esta lección, debería poder:
- Recuerde las ecuaciones para variación directa e indirecta
- Calcule una variación directa o indirecta
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