Propiedades de los triángulos 3-4-5: definición y usos

Teorema de pitágoras

Érase una vez, un famoso matemático griego llamado Pitágoras probó una fórmula para descubrir el tercer lado de cualquier triángulo rectángulo si conoces los otros dos lados.

Un triángulo rectángulo es cualquier triángulo con un ángulo recto (90 grados). Por lo general, esto se indica poniendo un pequeño marcador cuadrado dentro del triángulo rectángulo. En cualquier triángulo rectángulo, los dos lados que bordean el ángulo recto serán más cortos que el lado opuesto al ángulo recto, que será el lado más largo, o hipotenusa. Si llamamos a los lados cortos de un y b y el lado largo c , entonces el Teorema de Pitágoras establece que:

a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2

No importa cuál de los dos lados más cortos sea a y cuál sea b . Solo importa que el lado más largo siempre tenga que ser c .

Echemos un vistazo a cómo funciona esto en la práctica. Digamos que tenemos un triángulo donde los dos lados cortos son 4 y 6. No sabemos cuál es el lado largo, pero podemos ver que es un triángulo rectángulo. Para encontrar el lado largo, podemos simplemente insertar las longitudes de los lados en el teorema de Pitágoras. 4 al cuadrado más 6 al cuadrado es igual a c al cuadrado. Eso significa que c al cuadrado es igual a 60, y c es igual a la raíz cuadrada de 60, o aproximadamente 7.746.

Triples pitagóricos

Pero, ¿qué tiene todo esto que ver con 3, 4 y 5? Bueno, puede notar que 7.746 no es un número muy agradable para trabajar. Probablemente no querrás hacer muchos cálculos con eso, ¡y tus maestros probablemente tampoco quieran! ¿No sería mejor tener un triángulo con longitudes de lados fáciles, como, digamos, 3, 4 y 5?

Ahí es donde entran los triples pitagóricos. Un triple pitagórico es un triángulo rectángulo donde todos los lados son números enteros. Y, lo has adivinado, uno de los triples pitagóricos más populares es el triángulo rectángulo 3-4-5. 3 y 4 son las longitudes de los lados más cortos y 5 es la longitud de la hipotenusa, el lado más largo opuesto al ángulo recto.

Si ejecuta el Teorema de Pitágoras en este, puede ver que verifica:

3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2

9 + 16 = 25

25 = 25

3-4-5 múltiplos

Sin embargo, no son solo 3, 4 y 5. Puedes escalar este mismo triplete hacia arriba o hacia abajo multiplicando o dividiendo la longitud de cada lado. Por ejemplo, un triángulo 6-8-10 es solo un triángulo 3-4-5 con todos los lados multiplicados por 2. Siempre que multiplique cada lado por el mismo número, todas las longitudes de los lados seguirán siendo números enteros y el pitagórico El teorema seguirá funcionando. Por otro lado, no se puede sumar ni restar el mismo número a todos los lados. No existe el triángulo 4-5-6.

Si aplicaras el Teorema de Pitágoras a esto, obtendrías:

4 ^ 2 + 5 ^ 2 = 6 ^ 2

16 + 25 = 36

41 = 36

– lo cual no es cierto. Absolutamente puede tener un triángulo rectángulo con lados cortos 4 y 5, pero la hipotenusa tendría que ser la raíz cuadrada de 41, que es aproximadamente 6.4.

Piense en 3-4-5 como una proporción. Siempre que las longitudes de los lados del triángulo estén en una proporción de 3: 4: 5, entonces es realmente un triángulo 3-4-5, y se aplican las mismas reglas.

Usando 3-4-5 triángulos

Si puedes reconocer los triángulos 3-4-5, te harán la vida mucho más fácil porque puedes usarlos para evitar muchos cálculos. Por ejemplo, digamos que tiene un problema como este:

Pitágoras sale a caminar. Es bastante ágil para ser un viejo, así que camina 6 millas al este y 8 millas al sur. En línea recta, ¿qué tan lejos está de su punto de partida?

Si dibuja un diagrama de este problema, se vería así:

Diagrama por ejemplo problema

¿Parecer familiar? ¡Es un triángulo 3-4-5! En este caso, todas las longitudes de los lados se multiplican por 2, por lo que en realidad es un triángulo 6-8-10.

Como sabe eso, sabe que la distancia desde su punto de partida es de 10 millas sin tener que perder tiempo haciendo cálculos reales. Es una forma rápida y útil de ahorrarse algunos cálculos molestos.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendiste sobre 3-4-5 triángulos rectángulos. El triángulo rectángulo 3-4-5 es un triple de Pitágoras, o un triángulo rectángulo donde todos los lados son números enteros. En este triángulo en particular, las longitudes de los lados más cortos son 3 y 4, y la longitud de la hipotenusa, o el lado más largo, es 5.

Puedes escalar el triángulo 3-4-5 indefinidamente multiplicando cada lado por el mismo número. Siempre que los lados estén en una proporción de 3: 4: 5, estás listo. Sin embargo, no puede agregar números a los lados; solo puedes multiplicar.

Usar triángulos 3-4-5 es útil en las pruebas porque puede ahorrarle algo de tiempo y ayudarlo a detectar patrones rápidamente. No es tan difícil una vez que te vuelves bueno en detectarlos, pero para hacer eso, necesitas algo de práctica; ¡Pruébelo usted mismo en las preguntas del cuestionario!

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección en video, debería poder:

• Definir triple pitagórico
• Explica cómo escalar un triángulo 3-4-5 hacia arriba o hacia abajo.
• Describe la ventaja de tener un triángulo 3-4-5 en un problema.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador