Punto final: definición y fórmula

¿Qué es un punto final?

Antes de llegar a la definición de un punto final, primero aprendamos qué es un segmento de línea y qué es un rayo. En matemáticas, un segmento de línea es exactamente como suena el nombre: un segmento de línea. Más formalmente, un segmento de línea es una línea que conecta dos puntos y no se extiende más allá de ninguno de los puntos. Un rayo es una línea que comienza en un punto y se extiende para siempre en una dirección.

En cualquier lugar donde vea una línea en el entorno que lo rodea, si considera solo una parte de esa línea entre dos puntos distintos, entonces tiene un segmento de línea, y si considera una línea que comienza en un punto y luego continúa para siempre en una dirección , entonces tienes un rayo. Por ejemplo, esta imagen muestra líneas en un campo, con los puntos A , B y C agregados.

Si solo consideramos la línea entre los puntos A y B , y nada que se extienda más allá de ellos, entonces tenemos el segmento de línea AB . Si consideramos la línea que comienza en C y continúa eternamente en una dirección (indicada por la flecha), entonces tenemos un rayo.

Los puntos finales son los puntos en cada extremo de un segmento de línea o en un extremo de un rayo. En un segmento de línea, la línea no se extiende más allá de ninguno de sus extremos que conecta. De manera similar, en un rayo, una línea tiene un punto final, y la línea se aleja en una dirección de ese punto y no se extiende más allá de ese punto final en la otra dirección. Por lo tanto, podemos pensar en los puntos finales como un punto donde una línea termina (o se detiene). Por lo tanto, el segmento de línea AB en la imagen tiene puntos extremos A y B , y el rayo tiene el punto final C .

La fórmula del punto medio

En cada segmento de línea, hay un punto que se encuentra a medio camino entre los extremos. Este punto se llama punto medio y se encuentra en el segmento de línea a la misma distancia de cada uno de los puntos finales. En términos más simples, el punto medio se encuentra en el medio del segmento de línea. El gráfico muestra un segmento de línea y su punto medio.

El punto medio M tiene coordenadas (5, 3), y está a medio camino entre A y B . En general, cuando tenemos los puntos finales de un segmento de línea ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ), podemos encontrar las coordenadas del punto medio encontrando el promedio de cada una de las coordenadas. La coordenada x del punto medio se encuentra sumando las dos coordenadas x, x1 y x2 , y dividiéndolas por 2. De manera similar, la coordenada y del punto medio se encuentra sumando las dos coordenadas y, y1 e y2 , y dividiendo por 2 Esto nos da la fórmula del punto medio.

En nuestra gráfica del segmento de línea AB con el punto medio M, nuestros extremos se dan como (2, 2) y (8, 4), por lo que tenemos x1 = 2, x2 = 8, y1 = 2 y y2 = 4. Conectamos estos valores en nuestra fórmula de punto medio para obtener:

M = ((2 + 8) / 2, (2 + 4) / 2) = (10/2, 6/2) = (5, 3)

Por lo tanto, nuestro punto medio es (5, 3) como se muestra en el gráfico.

Fórmula de punto final

Cuando se nos da un punto final y el punto medio de un segmento de línea, podemos determinar el otro punto final usando la fórmula del punto final. La fórmula del punto final se deriva de la fórmula del punto medio.

Si el punto medio de un segmento de línea es ( m1 , m2 ) y los puntos finales son ( x1, y1 ) y ( x2, y2 ), entonces la fórmula del punto medio es:

M1 = ( x1 + x2 ) / 2

M2 = ( y1 + y2 ) / 2

Resolviendo cada uno de estos para x2 e y2 :

x2 = 2 ( m1 ) – x1

y2 = 2 (m2 ) – y1

( x2 , y2 ) = (2 ( m1 ) – x1 , 2 ( m2 ) – y1 )

Vemos que si se nos da un punto final y el punto medio de un segmento de línea, entonces podemos usar la fórmula del punto final para encontrar el otro punto final. Veamos nuevamente nuestro ejemplo de gráfico.

Supongamos que se nos da el punto final A , que tiene coordenadas (2, 2), y el punto medio M , que tiene coordenadas (5, 3), y queremos encontrar el otro punto final de nuestro segmento de línea.

x1 = 2

y1 = 2

m1 = 5

m2 = 3

Conectamos estos valores en nuestra fórmula de punto final para obtener lo siguiente:

( x2 , y2 ) = (2 * 5 – 2, 2 * 3 – 2) = (10 – 2, 6 – 2) = (8, 4)

Por lo tanto, nuestro otro punto final es (8, 4) como se muestra en el gráfico.

Ejemplos

Echemos un vistazo a un par de problemas de ejemplo utilizando lo que acabamos de aprender.

1) En el gráfico, identifique cualquier segmento de línea, rayo, punto final y punto medio.

Tenemos los segmentos de línea AB , AC y BC . Hay un rayo que comienza en el punto D . Todos los puntos pueden ser puntos finales, porque A y B son puntos finales del segmento de línea AB , C es un punto final del segmento de línea AC y D es el punto final del rayo. El punto B es el punto medio del segmento de línea AC .

2) Si un segmento de línea tiene un punto final (1, 5) y un punto medio (-2, 7), encuentre el otro punto final.

Vemos eso

x1 = 1

y1 = 5

m1 = -2

m2 = 7

Conectando estos valores a la fórmula del punto final ‘

( x2 , y2 ) = (2 m1 – x1 , 2 m2 – y1 ) = (2 * -2 – 1, 2 * 7-5) = (-5, 9)

Por lo tanto, nuestro otro punto final es (-5, 9).

Resumen de la lección

Un segmento de línea es exactamente como suena el nombre: un segmento de una línea. Un rayo es una línea que comienza en un punto y se extiende para siempre en una dirección. Los puntos finales son los puntos en cada extremo de un segmento de línea o en un extremo de un rayo. El punto medio de un segmento de línea es el punto que se encuentra a medio camino entre los puntos finales.

La fórmula para determinar el punto medio de un segmento de línea es:

( m1 , m2 ) = (( x1 + x2 ) / 2, ( y1 + y2 ) / 2)

La fórmula para determinar un punto final cuando conoce el punto medio es:

( x2 , y2 ) = (2 ( m1 ) – x1 , 2 ( m2 ) – y1 )

Los resultados del aprendizaje

Este video debería ayudarlo a:

• Explica qué es un segmento de línea.
• Identificar el punto final de un segmento de línea o rayo
• Demuestre cómo usar la fórmula del punto medio
• Comprender cómo usar la fórmula de punto final

Rodrigo Ricardo Editor y fundador