Punto límite del conjunto: definición y problemas

Introducción: una forma intuitiva de pensar acerca de los puntos límite

Cuando piensas en la palabra límite, ¿qué te viene a la mente? Quizás los ejemplos más claros del mundo real son las líneas de estado al cruzar de un estado a otro. Bueno, si consideras toda la tierra en Georgia como los puntos que pertenecen al conjunto llamado Georgia, entonces los puntos límite de ese conjunto son exactamente esos puntos en las fronteras estatales, donde Georgia hace la transición a Alabama, Carolina del Sur o Florida, etc. Intuitivamente, un punto límite de un conjunto es cualquier punto en el borde, o borde, que separa el interior del exterior del conjunto.

A lo largo de este artículo, cuando decimos límite de un conjunto, nos referimos al conjunto de todos los puntos límite del conjunto. Ahora, para definir correctamente los puntos límite, primero se debe definir la vecindad de un punto, ¡pero no estamos hablando de la vecindad en la que vives!

Definición de vecindarios

Intuitivamente, una vecindad es simplemente un conjunto de puntos que están todos en la misma ubicación general, pero por supuesto, necesitaremos una definición más precisa.

Para esta lección, solo consideraremos puntos en el conocido plano xy . Sea P un punto en el plano y r > 0 cualquier número positivo. La vecindad r abierta alrededor de P es el conjunto de todos los puntos que están a menos de r unidades de distancia de P .

Me gusta pensar que P es la ubicación de un poste en mi patio trasero, y he atado un perro a este poste. El perro puede visitar cualquier parte de mi jardín que no esté a más de la longitud de la cuerda ( r ) lejos de P ; esa región en la que el perro puede retozar es algo así como un vecindario r alrededor de P .

La definición precisa de punto límite

Dado un conjunto S y un punto P (que puede no estar necesariamente en S mismo), entonces P es un punto límite de S si y solo si cada vecindad de P tiene al menos un punto en común con S y un punto que no está en S .

Por ejemplo, en la siguiente imagen, si el área verde azulada representa un conjunto S , entonces el conjunto de puntos límite de S forma los contornos azul oscuro.

Entonces, ¿qué significa esto realmente? Bueno, piense en las fronteras estatales de su estado natal. Vivo en Georgia, y si viajo lo suficientemente al sur, entraré en Florida. Supongamos que conduzco hasta la frontera de Florida y salgo de mi auto y pongo un poste en el suelo en la línea estatal. Ato a mi perro (que viaja conmigo a todas partes) a este poste. Entonces, no importa cuán corta sea la cuerda, el perro puede visitar puntos tanto en Georgia como no en Georgia (en Florida). ¡Eso significa que la línea estatal realmente representa un límite del conjunto de puntos de Georgia!

Ejemplo

Suponga que S es el conjunto de todos los puntos en un disco cerrado de radio 3 con centro en (1, -2), como se muestra en la figura. ¿Cuáles son los puntos límite?

Algunos puntos límite de S incluyen: (1,1), (4,-2), etc. De hecho, el límite de S es solo el conjunto de puntos en la circunferencia del disco.

Resumen de la lección

Los puntos de la frontera de un conjunto son, intuitivamente hablando, aquellos puntos en el borde de S , que separan el interior del exterior. Más precisamente, un punto P es un punto límite de un conjunto S si cada vecindad de P contiene al menos un punto en S y un punto fuera de S.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador