Revisión de límites
 |
Tomemos un minuto para volver atrás y pensar en los límites. Nos hemos vuelto realmente buenos tomando límites que se ven así: límite cuando delta x va a cero de ( f ( x + delta x ) – f (x) ) / delta x = f` (x) , o la derivada de f (x) . A pesar de que nos hemos vuelto realmente buenos tomando este tipo de límites, podríamos tener problemas cuando se trata de un límite como este: límite cuando x va a cero de sin ( x ) / x. Si recordamos nuestras reglas de límites, una cosa que podemos hacer es dividir y conquistar. Podemos encontrar el límite en la parte superior de esta ecuación y podemos encontrar el límite en la parte inferior de esta ecuación. Bueno, el límite de sin ( x ) cuando x llega a cero es cero. Hasta ahora tan bueno. Y el límite de x cuando x se acerca a cero es cero.
Entonces nuestro límite es 0 / 0. Hmmm … eso no es tan bueno. ¿Qué hacemos cuando tenemos límites como este? ¿Qué hacemos cuando nuestro límite es igual a 0/0 o infinito / infinito? ¿Cómo le damos sentido a eso? ¿Existe un número real de este límite? ¿va al infinito o al cero? ¿Como sabemos? Bueno, puedo graficar esto sin ( x ) / x , y parece que el límite es 1. ¿Pero cómo lo encontraría sin graficar? ¿Cómo encontraría eso para ecuaciones más complicadas que son más difíciles de graficar? ¿Cómo haría esto sin mi calculadora?
La regla de L’Hopital, parte uno
 |
Pues bien, a dos hombres se les atribuye la resolución de este problema en el siglo XVII: el matemático francés Guilliame Francois Antoine de L’Hopital y el matemático suizo Johann Bernoulli. La historia es casi escandalosa, ya que se cree que a Bernoulli se le ocurrió la solución y L’Hopital la publicó, por lo que la solución se conoce como la regla de L’Hopital .
Entonces, ¿cuál es la esencia de la regla de L’Hôpital? Bueno, si tiene dos funciones que se acercan a cero, entonces no podemos mirar el valor de las funciones en esos puntos para determinar el límite de la razón. Sin embargo, podemos mirar la derivada. Quizás una de esas funciones se acerca a cero más rápido que la otra. En lugar de encontrar el límite sin ( x ) / x , veamos el límite de las derivadas. Quizás, al observar las derivadas, podamos tener una idea de lo que le sucede a sin ( x ) / x en x = 0.
Formalmente, la regla de L’Hopital dice que si tienes algunas funciones, como f (x) y g (x) , y ambas se acercan a cero cuando x va a algún número, como C , entonces el límite cuando x se acerca a C de la La razón de estas funciones es igual al límite cuando x se acerca a C de la razón de las derivadas de estas funciones. Por lo tanto, el límite cuando x va a C de f (x) / g (x) es igual al límite cuando x va a C de f` (x) / g` (x) .
 |
Probemos esto con el límite cuando x se acerca a cero de sin ( x ) / x . Ambas funciones van a cero cuando x va a cero, por lo que podemos usar la regla de L’Hopital. Tenemos el límite cuando x se acerca a cero de sin ( x ) / x es igual al límite cuando x se acerca a cero de d / dx (sin ( x )) / d / dx ( x ). Bueno, la derivada de sin ( x ) es cos ( x ) y la derivada de x es 1. Ahora, puedo dividir y vencer. El límite cuando x llega a cero de cos ( x) es 1, y el límite de 1 cuando x llega a cero es 1, por lo que nuestro límite es 1/1, o 1. ¡Fantástico! Ahora podemos encontrar los límites de funciones más complicadas, funciones que van a cero.
La regla de L’Hopital, segunda parte
¿Qué pasa con algo como el límite cuando x llega al infinito de e ^ x / x ? Nuevamente, usaremos la regla de L’Hopital, pero usaremos una forma ligeramente diferente. La regla de L’Hopital también funciona para límites que van hasta el infinito. Entonces, si tiene las funciones f (x) y g (x) , y el límite cuando x va a C de ambos es infinito en lugar de cero, puede usar la regla de L’Hopital y, en su lugar, mirar los límites de las derivadas .
 |
En el caso de e ^ x / x , tanto e ^ x como x se acercarán al infinito cuando x vaya al infinito. Puedo usar la regla de L’Hopital y encontrar el límite de la derivada de la parte superior y la derivada de la parte inferior. La derivada de e ^ x es solo e ^ x , y la derivada de x es solo 1. Puedo reescribir mi límite como el límite cuando x va al infinito como e ^ x / 1. Bueno, cuando x va al infinito, e ^ x va al infinito y 1 simplemente permanece 1. Entonces mi límite es infinito.
Resumen de la lección
La regla de L’Hopital , determinada por matemáticos suizos y franceses en disputa, dice que el límite cuando x va a un número de una fracción de dos funciones es igual al límite a x va a ese mismo número de la fracción de las derivadas de esas funciones. . Esto solo funciona si f (x) / g (x) le da 0/0 o infinito / infinito. En estos casos, veremos las derivadas, o la pendiente, a medida que avanzamos hacia nuestro límite.
Continua con:
- Regla de la mayoría y Derechos de las minorías
- Inducción asimétrica: regla de Cram, modelo de Felkin, modelo de Felkin-Ahn y selectividad anti-Felkin
- La Regla de Oro: Importancia, historia y filosofía secular
- Pérdida económica: definición y regla
- Pérdida Económica: Definición, regla y ejemplos
- Regla de Zaitsev: definición y ejemplos
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
