Qué es una función: conceptos básicos y términos clave

Conceptos básicos de una función

¿Te sorprendería saber que uno de los pilares más importantes del cálculo es algo que usas todos los días? Las funciones son fundamentales para el cálculo, pero las ha estado usando toda su vida. Formalmente, las funciones asignan un conjunto de números a otro conjunto de números. Entonces, ¿qué significa esto?

Digamos que tenemos una caja negra y la llamaremos nuestra función. Si pones el número 4, podrías sacar el número 8. Si pones el número 5, podrías sacar el número 16. Por cada número que ingreses, di x , obtendrás otro número , di y . Ahora, a veces puede poner dos números diferentes, digamos 4 y 22, y obtener el mismo número, digamos 39. Pero en ningún momento ingresará un número y obtendrá dos números diferentes. Esto puede parecer complejo, pero en realidad es solo decir cosas que ya sabes.

Funciones en nuestra vida diaria

Por ejemplo, utiliza funciones cada vez que va a la gasolinera. La cantidad de dinero que paga a una gasolinera depende de la cantidad de gasolina que bombea. Dicho de otra manera, la cantidad de gasolina que bombea determina la cantidad de dólares que paga. Digamos que la gasolina cuesta $ 3.80 el galón. Si va a realizar un viaje largo por carretera, es posible que necesite 10,2 galones. Si bombea 10.2 galones y la gasolina cuesta $ 3.80 el galón, la estación de servicio le cobrará $ 38.76. Si solo está corriendo por la ciudad y solo necesita 2.3 galones, la estación de servicio solo le cobrará $ 8.74. Por supuesto, dependiendo de su automóvil, es posible que necesite más o menos gasolina, y la estación le cobrará según la cantidad de gasolina que tome.

Cómo determinan la cantidad a cobrar es muy simple. Usan una función que asigna la cantidad de galones que bombea a la cantidad de dólares que debe pagar. Específicamente, decimos que la cantidad de dólares que paga es función de la cantidad de gasolina que compra.

Variables en una función

Sabes la cantidad de galones que vas a comprar; conoces una variable x . Esta es tu variable independiente. Lo que quieres saber es la cantidad de dólares que vas a pagar, la variable y . Esto es dependiente, porque depende de la cantidad de galones que compre. Una forma de expresar esto matemáticamente es que los dólares que pagas son una función de los galones que compras, como dijimos antes. Pero escribamos esto en términos matemáticos: Los dólares que pagas ( y ) son (eso es lo que las matemáticas hablan de «igual») una función ( f de función) de los galones que compras ( x ). Entonces y = f (x). Generalmente, una función se escribe con variables de entrada entre estos paréntesis.

En el caso de nuestra gasolinera, sabemos realmente cuál es la función. Vamos a la gasolinera y bombeamos un poco de gasolina. Debido a que probablemente haya ido a la estación de servicio antes, sabe que la cantidad de dólares que va a pagar es igual a la cantidad de gasolina que bombeó multiplicada por el precio por galón. Entonces, si la gasolina cuesta $ 4 por galón, entonces escribimos y es igual a 4 veces nuestra entrada, que es la cantidad de galones que bombeamos: y = 4 x . Si bombeamos 4 galones de gasolina, lo conectamos a nuestra función, 4 * 4, y eso es 16. Deberíamos $ 16. Entonces, un punto importante aquí es que cuando decimos y = f (x) , eso es bueno para cualquier valor de x . Estamos usando xcomo variable aquí. Si decimos y = f (5), evaluamos esta función usando x = 5.

Imagínese ir a la gasolinera y, en lugar de bombear 4 galones de gasolina y deber $ 16, intenta devolverle gasolina a la gasolinera. Ahora no sé ustedes, pero cuando trato de hacer eso, el empleado de la estación de servicio generalmente se ríe de mí, porque él y yo sabemos que la cantidad de gasolina que puedo bombear (la entrada a nuestra función ) tiene que ser mayor que cero. La cantidad mínima de gasolina que puedo bombear es cero, y si voy a la gasolinera y bombeo cero galones de gasolina, la gasolinera simplemente se enfada. Pero no hay una cantidad máxima, prácticamente hablando. La salida de nuestra función estará entre cero e infinito.

El rango corresponde al valor y y los valores x corresponden al dominio

Dominio y rango

Todas las posibles entradas a nuestra función se conocen como dominio . El dominio son aquellos valores que puede poner como entrada (como la variable x ) en la función.

La salida, todos los valores posibles que puede obtener de su función, se conocen como rango . En este caso, el rango es la cantidad de dólares que podría esperar gastar en la gasolinera.

Entonces, si vuelvo a la caja negra, vamos a escribir nuestra función un poco más formalmente ahora como y = f (x) . Las entradas de nuestra caja negra son ahora los valores x que componen el dominio, y la salida, algo dentro del rango, son nuestros valores y . Los matemáticos a veces escriben así, donde ahora tienes básicamente dos hojas de papel, en cierto sentido, una frente a la otra. Por un lado tienes un dominio, tienes una función, y la segunda hoja de papel es el rango.

¿Qué pasa con la función seno de x ? La función sin ( x ), la escribiré como y es una función de x y esa función es en realidad sin ( x ), entonces y = sin ( x ). ¿Qué pasa con el dominio y el rango de esta función? El dominio son todos los valores posibles de x que puede poner en esto. Si usa su calculadora, sabe que puede poner cualquier cosa en sin ( x ), por lo que el dominio son todos los valores desde menos infinito hasta infinito. ¿Qué pasa con la gama? Bueno, el rango son todos los valores posibles de y . Si graficamos sin ( x), puede ver con bastante facilidad que el valor máximo será 1 y el valor mínimo será -1.

Entonces, al escribir y = sin ( x ), sabemos que y tiene que estar entre -1 y 1. Eso significa que el rango de sin ( x ) va a estar entre -1 y 1. Entonces el rango corresponde al valor de y , este eje vertical, y el dominio corresponde a los valores de x , este eje horizontal. Una última cosa: ¿qué pasa con el dominio y el rango de esta función?

Gráfico del ejemplo de función final

Primero, echemos un vistazo a lo que significa esta función. Lo que esto significa es que para valores de x menores que cero, nuestra función, f (x) , es igual a sin ( x ). Si grafica esto, cualquier cosa que sea menor que cero será sin ( x ); va a continuar. Para valores de x que son mayores que cero, f (x) será igual ax , por lo que se verá así. Un punto importante a tener en cuenta aquí es que no hay un valor asignado en x = 0, así que voy a poner un círculo allí porque no está definido.

Resumen de la lección

En resumen, las funciones asignan un conjunto de números a otro conjunto de números, pero esto no es más complejo que ir a la gasolinera. Su entrada a su función, su variable x , es la variable independiente, y x debe estar dentro del dominio de la función. La variable y es su variable dependiente. Es la salida de su función y debe estar dentro del rango de la función.

Dibujando la línea

Para muchas personas, las matemáticas son un idioma extranjero complejo. Sin embargo, muchos de sus conceptos se utilizan en nuestro día a día sin que nos demos cuenta de que lo estamos aplicando. Cuando mapeamos dos conjuntos de números, como hacemos cuando compramos algo por libra o galón, estamos creando una función. Esos números pueden mostrarse en un gráfico y conectarse con una línea para proporcionar un ejemplo visual de cómo se emparejan los conjuntos de números.

Resultado de aprendizaje

Después de revisar esta lección, debería poder:

• definir y describir una función y otros términos relacionados.
• demostrar cómo hacer una función y aplicarla a una gráfica.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador