Qué significa ser ‘diferenciable’

Revisión de derivados

Gráfico que muestra la velocidad de un chorro

Repasemos muy rápido. La tasa de cambio es igual a la velocidad cuando lo pensamos en términos de movimiento. La velocidad y la tasa de cambio son la pendiente de alguna posición en función del tiempo. La tasa de cambio instantánea es su tangente a esa línea en cualquier punto dado, y también se conoce como derivada . Es exactamente qué tan rápido vas en un solo momento.

Velocidad de un chorro

Entonces, ¿qué significa esto para un ovni, un jet y un superjet? Específicamente, ¿cada uno de ellos tiene siempre una derivada, o una tasa de cambio o una velocidad? Primero, consideremos el jet. Si miro la altitud del avión en función del tiempo, tengo un gráfico uniforme . El avión despega, aumenta su altitud y se nivela a una altitud realmente elevada. En cualquier momento, ese chorro tiene una velocidad, y puedo ver que en la gráfica de h como función de t. Inicialmente, la velocidad es cero, mi velocidad instantánea es cero, la tangente a esta línea es cero. Luego, el chorro comenzará a aumentar lentamente su velocidad horizontal, y la tangente a esta curva tiene una pendiente más alta. Cuando alcanza la altitud a la que está intentando llegar, su velocidad horizontal vuelve a bajar a cero, y lo ves aquí arriba. Pero en cada momento tiene cierta velocidad, incluso si esa velocidad es cero.

La velocidad de un ovni

Velocidad de un ovni

Ahora comparemos esto con un ovni. Un OVNI podría estar colgando cerca de algunos cultivos, y luego, de repente, podría saltar a una altitud mayor. Ahora, en este salto no tiene velocidad. No puedo calcular una velocidad promedio y esa velocidad promedio converge en alguna tangente. Simplemente no existe. No existe porque hay una posición discontinua . La gráfica h en función de t tiene una discontinuidad.

Velocidad de un superjet

Echemos un vistazo a un superjet. Un superjet tiene la capacidad de ir de cero a 300 mph instantáneamente. Activan un interruptor y de repente … ibas a cero mph, y al segundo siguiente vas a 300 mph. Antes de activar el interruptor, van a cero. La tangente a su curva h (t) es cero. Después de activar el interruptor, la tangente a su curva h (t) es de 300 mph. Justo en este punto, sin embargo, no hay tangente. Al acercarse por un extremo, la tangente es 300, y al acercarse por el otro extremo, la tangente es cero. El límite al llegar a ese punto no existe. Si grafica la tangente a esto, tienes cero antes de activar el interruptor, y después de activar el interruptor tienes 300 mph. Entonces la derivada, esta h`gráfico, no es continuo. Hay un salto.

Gráfico de la velocidad de un superjet

Diferenciable

¿Por qué todo esto importa? Bueno, esto conduce a la definición de diferenciable . Ser diferenciable significa que tienes una derivada. Significa que si tiene un gráfico, ese gráfico será uniforme. Entonces nuestro jet tiene un derivado en todas partes. Siempre hay una tangente a esta curva. Esta curva es diferenciable en todas partes. Nuestro ovni no lo es. Nuestro OVNI tiene esta discontinuidad en el medio. Además, nuestro superjet tampoco es diferenciable en todas partes, porque nuestro superjet tiene esta torcedura en la curva donde no hay tangente. Tan diferenciable significa que tiene una derivada sobre cualquier región que esté mirando, y eso significa que su gráfico tiene que ser suave.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador