Representación gráfica de distribuciones de probabilidad asociadas con variables aleatorias

Eventos aleatorios

¿Has jugado alguna vez a la lotería o has probado suerte en el casino? Si no tienes la edad suficiente, quizás conozcas a alguien que sí. Muchos eventos y procesos en el mundo, incluidos los que puede encontrar en un casino, tienen una naturaleza aleatoria.

Algunos ejemplos de procesos aleatorios incluyen dibujar números de lotería, jugar a la ruleta e incluso medir la lluvia anual. Todos estos se pueden cuantificar con variables aleatorias y algo llamado función de distribución de probabilidad. En esta lección, aprenderá a graficar distribuciones de probabilidad que resultan de procesos aleatorios.

¿Por qué no empezamos por definir términos como variable aleatoria y función de distribución de probabilidad antes de echar un vistazo a algunos ejemplos relacionados con estos conceptos?

Variables aleatorias y distribución de probabilidad

Una variable aleatoria es una cantidad que designa los posibles resultados de un proceso aleatorio. Se utiliza para asignar los resultados potenciales de un proceso aleatorio a valores numéricos. Las variables aleatorias se pueden asociar con procesos tanto discretos como continuos. Los procesos que pueden describirse mediante una variable aleatoria discreta incluyen lanzar una moneda, elegir un número al azar y lanzar un dado.

Por el contrario, los ejemplos de eventos asociados con una variable aleatoria continua incluyen la distribución de altura y peso de las personas dentro de una población. Una buena forma de determinar si la variable aleatoria es discreta o continua es la siguiente: si hay un número contable de valores que la variable aleatoria puede tomar, entonces es discreta; de lo contrario, es continuo.

En la introducción, también mencioné algo llamado función de distribución de probabilidad. La función de distribución de probabilidad es una función que describe la probabilidad de todos los valores posibles que puede tomar la variable aleatoria.

Si la variable aleatoria es discreta, entonces la función de distribución de probabilidad correspondiente también será discreta. Alternativamente, si la variable aleatoria es continua, entonces la función de distribución de probabilidad asociada también será continua. Fácil, ¿verdad?

Pero una cosa. Es importante tener en cuenta que en el caso de variables aleatorias continuas, la función de distribución de probabilidad también se denomina función de densidad de probabilidad . Echemos un vistazo a cómo graficar estas distribuciones de probabilidad.

Graficar una distribución de probabilidad discreta

Primero, dirijamos nuestra atención a graficar una distribución de probabilidad discreta. Al lanzar un dado de seis caras, la variable aleatoria puede tener los valores del 1 al 6, como se muestra en la pantalla:

Si el dado es justo, lo que significa que no hay preferencia por ningún resultado en particular, entonces la probabilidad de lanzar cualquier número (digamos, un 5) es la misma que la probabilidad de lanzar cualquier otro número (digamos, un 3).

Dado que solo hay seis valores posibles que puede adoptar la variable aleatoria, es discreta. La función de distribución de probabilidad, también discreta, mostraría la probabilidad de lanzar cualquier número entero entre 1 y 6, inclusive. Matemáticamente, esta función se puede escribir de la siguiente manera:

Gráficamente, la función de distribución de probabilidad está representada por un gráfico de barras, con el eje x indicando los valores que la variable aleatoria puede tomar y el eje y indicando la probabilidad de cada resultado. El gráfico de distribución de probabilidad se muestra en pantalla para nuestro ejemplo.

Bien, echemos un vistazo a otro ejemplo. Podemos definir una variable aleatoria, x , asociada con lanzar dos dados de seis caras, de la siguiente manera:

La variable aleatoria puede tomar los valores mostrados porque el resultado más bajo posible es sacar un 1 en ambos dados, mientras que el resultado más alto posible es sacar un 6 en ambos dados, de ahí el 12. La función de distribución de probabilidad, entonces, se mostraría como sigue:

Se puede usar un gráfico de barras para representar esta función de distribución de probabilidad, con el eje x designando los valores que puede tener la variable aleatoria y el eje y designando la probabilidad de cada uno de estos valores. Nuevamente, el gráfico que ve representa este ejemplo específico:

Graficar una distribución de probabilidad continua

Ahora, una función de distribución de probabilidad continua se puede graficar de manera similar a una discreta. El eje x denota los posibles valores que puede tener la variable aleatoria, mientras que el eje y denota la probabilidad correspondiente para cada valor. La única gran diferencia es que el gráfico aparecería como una curva continua. He aquí solo un ejemplo:

Esta función se grafica trazando todos los puntos de datos poco espaciados en un diagrama de dispersión. Como ejemplo, el siguiente gráfico muestra un pequeño subconjunto de puntos de datos en rojo.

Si tuviéramos que trazar todos los puntos de datos de manera similar, la curva parecería ser continua.

Resumen de la lección

Para recapitular, en esta lección, hablamos sobre variables aleatorias discretas y continuas y sus correspondientes funciones de distribución de probabilidad.

Una variable aleatoria es una variable que designa los posibles resultados de un proceso aleatorio. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. Una variable aleatoria discreta describe procesos con un número contable de resultados, mientras que una variable aleatoria continua describe procesos con un número incontable de resultados.

Ejemplos de procesos asociados con una variable aleatoria discreta incluyen lanzar una moneda y lanzar los dados. Por otro lado, los ejemplos de procesos asociados con una variable aleatoria continua incluyen medidas de altura y peso de un grupo de personas.

También repasamos cómo graficar distribuciones de probabilidad discretas y continuas, que representan las probabilidades de los valores que pueden tener las correspondientes variables aleatorias. Es decir, la función de distribución de probabilidad , graficada en el eje y , es una función que describe la probabilidad de todos los valores posibles que puede tomar la variable aleatoria, con la variable aleatoria graficada en el eje x . Tenga en cuenta que la función de densidad de probabilidad es otro nombre para una función de distribución de probabilidad continua. Ahora debería poder resolver problemas similares por su cuenta.

Términos clave

• variable aleatoria: una cantidad que designa los posibles resultados de un proceso aleatorio
• función de distribución de probabilidad: una función que describe la probabilidad de todos los valores posibles que la variable aleatoria puede tomar
• función de densidad de probabilidad: también conocida como función de distribución de probabilidad en el caso de variables aleatorias continuas

Lanzar un dado justo se considera una distribución de probabilidad discreta ya que solo hay seis valores posibles.

Los resultados del aprendizaje

Persiga estos objetivos a medida que avanza en la lección:

• Distinguir entre una variable aleatoria discreta y una variable aleatoria continua
• Discutir y representar gráficamente la distribución de probabilidad