Coeficientes literales
Cuando escucho la frase ‘resolver ecuaciones racionales con coeficientes literales’, realmente me asusta un poco. Suena como un GRAN problema, pero ¿sabes qué? Una vez que entro en todo el proceso y recuerdo mis dos pasos básicos, el gran problema aterrador que solía ser un elefante ahora es un ratón que puedo manejar fácilmente.
Lo que primero necesito saber antes de resolver este tipo de problema y lo que quiero que entiendas es qué es un coeficiente literal . En pocas palabras, un coeficiente literal es una variable que se usa para representar un número. El número que representa la variable puede ser conocido o desconocido. Puede ser nuestra x o y habitual , o pueden ser otras letras, como a, b o c . Aunque podemos tener más de una variable en una ecuación, consideraremos el caso común en el que solo hay un coeficiente literal.
Ecuaciones racionales con coeficientes literales
Ahora sabemos qué es un coeficiente literal, pero ¿qué pasa con las ecuaciones racionales ? Una ecuación con una fracción formada por polinomios es una ecuación racional. Puede identificarlos fácilmente buscando fracciones con polinomios en el denominador y el numerador. Si ve una, entonces sabe que tiene una ecuación racional. Todos estos son ejemplos de ecuaciones racionales:
- t / ( t + 2) + 1/2 = 1
- s / 2 – 2 = ( s + 3) / 4
- 1 / x + 4 / ( x + 2) = 5 / ( x – 1)
No te asustes, pero vamos a trabajar con el problema más grande aquí, el de la variable x . Le mostraré cómo trabajar y resolver problemas como este para que no se conviertan en un dolor de cabeza para usted.
Paso 1: el denominador común
- 1 / x + 4 / ( x + 2) = 5 / ( x – 1)
El primer paso es encontrar el denominador común. Nuestro problema actual tiene tres denominadores que debemos analizar. Tenemos una x , una x + 2 y una x – 1. Encontrar denominadores comunes cuando tienes variables involucradas es ligeramente diferente que cuando solo tienes números involucrados. Creo que es más fácil cuando tienes variables involucradas. ¿Por qué digo eso? Deja que te enseñe.
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Cuando tenemos variables en nuestros denominadores, para encontrar nuestro denominador común, todo lo que tenemos que hacer es escribir todos los factores que vemos. Para nuestro problema, la primera fracción tiene una x como denominador, por lo que nuestro denominador común también tendrá una x . La segunda fracción tiene una x + 2, por lo que agregaremos eso a nuestro denominador común, ya que aún no lo tenemos. Si nuestro denominador común ya lo tenía, no necesitaremos agregarlo. Nuestro denominador común es ahora x ( x + 2). La última fracción tiene una x – 1. Miro mi denominador común y veo que todavía no lo tengo, así que lo agregaré también. Al agregar factores al denominador común, los multiplico. Entonces, nuestro denominador común esx ( x + 2) ( x – 1). Si nuestros denominadores solo tuvieran números, seguiríamos adelante y encontraríamos el mínimo común múltiplo de los números involucrados.
- x (x + 2) (x – 1)
Usaremos este denominador común para ayudarnos a resolver nuestra ecuación racional. Lo que vamos a hacer es multiplicar cada término por nuestro denominador común. Mira lo que sucede cuando hacemos esto. Te gustará. Simplifica el problema en algo que sé que puedes manejar.
Como multiplicamos cada término por el denominador común, podemos cancelar términos semejantes. El primer término tiene un factor x común tanto en la parte superior como en la inferior. El segundo tiene un x + 2 común tanto en la parte superior como en el inferior que se puede cancelar y el tercero tiene un x – 1 común que se puede cancelar. Nuestro problema ahora se ve así:
- ( x + 2) ( x – 1) + 4 x ( x – 1) = 5 x ( x + 2)
Considero que esto es mucho más manejable de lo que comenzamos. No estas de acuerdo ¡No más fracciones! ¡Hurra! Ahora podemos usar nuestras habilidades de álgebra para resolver x .
Paso 2: Resolver la ecuación racional
Multiplicaremos los factores asegurándonos de seguir el orden de operaciones.
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- ( x + 2) ( x – 1) + 4 x ( x – 1) = 5 x ( x + 2)
Luego, combinamos nuestros términos semejantes.
- 5 x ^ 2-3 x – 2 = 5 x ^ 2 + 10 x
Luego movemos todas nuestras variables al mismo lado y simplificamos. Voy a elegir el lado izquierdo. Puedes elegir el lado que quieras.
- -13 x – 2 = 0
Veo que me quedo con una ecuación lineal. Esto significa que puedo mover mi número al otro lado y resolver x .
- -13 x = 2
- x = – (2/13)
Hemos resuelto para x , pero no hemos terminado. Debido a que una ecuación racional tiene fracciones, necesitamos volver atrás y reemplazar nuestra respuesta para ver si causa división por cero en alguna de nuestras fracciones. Podemos hacer esto conectando nuestra respuesta en cada denominador por separado para ver si nos da un cero en el denominador. Si todos los denominadores están bien, lo que significa que ninguno termina siendo cero, entonces nuestra respuesta es válida.
Verificando nuestra respuesta de – 2/13, y colocándola en cada denominador, obtenemos – 2/13 para el primer denominador, – 2/13 + 2 = 24/13 para el segundo denominador y – 2/13 – 1 = – 15/13 para el tercer denominador. Ninguno de estos es cero, por lo que mi respuesta es válida.
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Además, si terminamos con una ecuación cuadrática después de multiplicar por el denominador común y simplificar, necesitaríamos usar nuestras habilidades de resolución de ecuaciones cuadráticas como factorizar o la fórmula cuadrática para ayudarnos a resolver el problema.
Resumen de la lección
En resumen, resolver ecuaciones racionales con coeficientes literales no es tan malo. Recordamos que un coeficiente literal es una variable que se utiliza para representar un número y que una ecuación racional es una ecuación con fracciones formadas por polinomios. Resolver estos problemas es un proceso de dos pasos. El primer paso requiere que encontremos el denominador común y luego multipliquemos toda la ecuación por él para simplificar nuestra ecuación y poder resolverla más fácilmente. La segunda parte requiere nuestras habilidades de álgebra para resolver el coeficiente literal o variable.
Los resultados del aprendizaje
Una vez que haya revisado esta lección en video, podrá:
- Definir coeficiente literal y ecuación racional
- Enumere los dos pasos necesarios para resolver ecuaciones racionales con coeficientes literales.
- Resolver problemas básicos que involucran ecuaciones racionales con coeficientes literales.
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