Resta de vectores (geométrica): fórmula y ejemplos

Por qué necesitamos restar vectores

Restar dos números que son escalares (que no tienen dirección) es bastante fácil: 10 manzanas – 6 manzanas = 4 manzanas. Realmente, eso es todo lo que hay que hacer. Pero, cuando agrega dirección cuando comienza a trabajar con vectores , las cosas se vuelven mucho más complicadas. Sí, si usted y su amigo tienen un tira y afloja y él tira con 10 newtons y usted tira con 6 newtons, el resultado es una fuerza total de 4 newtons, al igual que con las manzanas. Pero, ¿y si tira en diferentes ángulos?

Imaginemos que en lugar de un tira y afloja, estás empujando una mesa en un ángulo de 40 grados y tu amigo tira en un ángulo de 75 grados, cada uno con diferentes fuerzas. ¿A dónde va la mesa? De repente, la gran cantidad que estás tirando no es lo único que importa. Ahora la dirección importa, así que tenemos que empezar a sumar y restar vectores.

Aunque a menudo sumar vectores es más útil, restar también puede ser importante. Solo tiene que buscar una ecuación física que tenga un signo menos entre dos cantidades vectoriales para saber cuándo podría tener que restar. Aquí hay un ejemplo: la aceleración es igual a la velocidad final menos la velocidad inicial dividida por el tiempo. El tiempo no es un vector (es solo un número), pero las velocidades inicial y final son ambos vectores. Entonces, si queremos averiguar la aceleración de un objeto, implicará restar un vector de otro.

El enfoque geométrico

Hay dos formas principales de restar vectores: matemática y geométricamente. En esta lección, veremos el enfoque geométrico: restar vectores colocándolos de un extremo a otro.

Para evitar muchas matemáticas desordenadas, el enfoque geométrico tiene una simplicidad agradable: todo lo que tienes que hacer es dibujar un diagrama. Por supuesto, tienes que dibujar un diagrama muy preciso: un dibujo a escala. Un dibujo a escala es un dibujo donde las longitudes y ángulos de cada línea se relacionan entre sí de una manera consistente que coincide con la realidad. Entonces, por ejemplo, con un vector de fuerza, podría decir que cada centímetro equivale a una fuerza de 10 newtons. Entonces, un vector de fuerza de 50 newton sería una flecha con una longitud de 5 centímetros.

Para agregar dos vectores dibujados a escala (como se describe en otra lección), colóquelos de punta a punta. Para restar dos vectores haces algo similar, pero el que estás restando va en la dirección opuesta. La orientación y la longitud del vector permanecen iguales, pero la dirección se invierte.

Un vector v podría verse así:

Pero un vector negativo v se vería así:

Aquí, por ejemplo, tenemos dos vectores de velocidad: la velocidad final de un automóvil y su velocidad inicial.

Si los restamos así, para obtener el vector final, dibujamos un vector que va desde el principio hasta el final.

Nuestro resultado final, que llamaremos delta v , es igual al vector vf menos el vector vi .

Entonces podríamos medir la longitud de nuestra flecha en el dibujo a escala y el ángulo en el que apunta la flecha para calcular algunos números para nuestro valor de delta v . Por último, podríamos dividir la magnitud de nuestro vector por t para obtener la aceleración, ya que la aceleración es vf menos vi dividida por t .

Ejemplo

Veamos otro ejemplo:

Imagine que está tratando de sacar un cable de detrás de un escritorio pesado. En el proceso de tirar del cable para liberarlo, empiezas a tirar de una manera y 3 segundos después estás tirando de otra. Empiezas a tirar de esta manera con una fuerza de 3 newtons:

Y termina tirando de esta manera con una fuerza de 5 newtons cuando terminen los 3 segundos:

Y, según la situación, se le pide que calcule la tasa de cambio de fuerza (el cambio de fuerza por segundo) usando métodos geométricos.

Como ecuación, esto sería F -final menos F -inicial dividido por los 3 segundos. Entonces, necesitamos restar el vector de fuerza inicial del vector de fuerza final. Para ello, construimos un dibujo a escala de la situación. Así es como se ve la F inicial positiva :

Entonces, F- inicial negativo iría en el sentido contrario:

Entonces, entonces, movemos el vector de fuerza inicial aquí:

Dibuje un vector de principio a fin, y tenemos un vector que representa F -final menos F -inicial; ese vector tiene 9 unidades de largo. Por último, tenemos que dividir por el tiempo de 3 segundos; eso no cambia el ángulo, solo la longitud del vector. Eso nos da 3 newtons por segundo, y esa es nuestra tasa de cambio de fuerza. Hemos terminado.

Resumen de la lección

Para darse cuenta de la utilidad de restar vectores , solo tiene que buscar una ecuación física que tenga un signo menos entre cantidades vectoriales. Un ejemplo común es que la aceleración es igual a la velocidad final menos la velocidad inicial dividida por el tiempo. El tiempo no es un vector (eso es solo un número), pero las velocidades inicial y final son ambos vectores.

Entonces, si queremos averiguar la aceleración de un objeto, implicará restar un vector de otro. Para agregar dos vectores dibujados a escala (como se describe en otra lección), colóquelos de punta a punta. Para restar dos vectores, haz algo similar, pero el que estás restando va en la dirección opuesta. La orientación y la longitud del vector permanecen iguales, pero la dirección se invierte.

Un vector v podría verse así:

Pero un vector negativo v se vería así:

Aquí, por ejemplo, tenemos dos vectores de velocidad: la velocidad final de un automóvil y la velocidad inicial, y los restamos así:

Y luego, para obtener nuestra respuesta final (nuestro vector final), dibujamos un vector que va desde el principio hasta el final. Nuestro resultado final, que llamaremos delta v , es igual al vector vf menos el vector vi .

Entonces podríamos medir la longitud de nuestra flecha en nuestro dibujo a escala y el ángulo en el que apunta la flecha para calcular algunos números para nuestro valor de delta v . Por último, podríamos dividir la magnitud de nuestro vector por t para obtener la aceleración, ya que la aceleración es vf menos vi dividida por t . Y eso es todo lo que tienes que hacer.

Resultado de aprendizaje

Debería poder restar vectores usando un enfoque geométrico y dibujos a escala después de ver esta lección en video.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador