Técnicas de sustitución para integrales difíciles

Ejemplo de integral difícil

Gráfico de ingresos y gastos a lo largo del tiempo

Todos los años es lo mismo. La segunda semana de abril finalmente me siento a hacer mis impuestos. Miro mi extracto bancario, miro mis impuestos y tengo un momento de pánico. ¿Qué pasa con todos mis ingresos?

Bueno, me gustan las matemáticas, así que traté de graficar mis ingresos y gastos a lo largo del tiempo. Esta es una tasa; es cuánto gano o gasto en un momento dado. Entonces, cuando este gráfico está por encima de 0, estoy ganando más dinero del que gasto. Cuando está por debajo de 0, se acerca a fin de mes. No estoy ganando dinero en ese momento, pero estoy gastando mucho dinero. Entonces, cuando está aquí, estoy perdiendo dinero, y cuando está aquí, estoy ganando dinero.

Si integro mis ingresos y gastos (que llamaré f (t) ; f es una función del tiempo, t ) de algunos t = a a t = b, Puedo averiguar cuánto se ha agregado o restado del banco en ese período de tiempo. Por ejemplo, sé intuitivamente que si me integro en esta región aquí, el área está por encima de la curva, por lo que todo es positivo. Y es mayor que 0 porque hay un área aquí. La integral sobre esta región será positiva, así que tengo dinero neto entrando en mi cuenta bancaria. Ahora bien, esto tiene mucho sentido, porque la tasa está por encima de 0 para toda esta región. Durante todo este período de tiempo, sigo ganando más dinero del que gasto. Entonces, obviamente, al final del período de tiempo, tendré más dinero del que tenía al principio.

¿Cuál es la tasa de mis ingresos a lo largo del tiempo? Digamos que es f (t) = cos (2 sin ( t )) * cos ( t ). Entonces, este es un camino cíclico que ocurre todos los meses. Para ser claros, escribámoslo así: tengo el coseno de alguna función interna multiplicado por el coseno de t . Esa función interna es 2 * sin ( t ). Entonces, como tengo estos paréntesis grandes, cos ( 2 sin ( t ) ) , y una función dentro de otra función, ya estoy pensando que esta es una función compuesta : 2 sin ( t ) se ingresa en el coseno. Es una combinación de la función interna y la función externa.

Usando la sustitución de u para la función compuesta

Resolver por sustitución

Bien, ese es el fondo. Ahora vamos a tratar de averiguar la cantidad de tiempo que hago entre una y hora b . ¿Estoy dentro o fuera de la red? Tomemos la integral de cos (2 sin ( t )) * cos ( t ) * dt . Debido a que esta es una función compuesta, ya estoy pensando que necesitaré usar algún tipo de sustitución .

Entonces voy a encontrar alguna función, u , esa es mi función interna. Voy a averiguar cuál es la derivada de u , y luego voy a sustituir u y du en mi integral. Con suerte, esto hará que mi integral sea más fácil de resolver. Puedo encontrar la anti-derivada de mi función u , y luego puedo sustituir de nuevo y deshacerme de todas las u s y reemplazarlas con x s o, específicamente, con g (x) s. Una vez que haya hecho todo eso, quiero verificar mi respuesta para asegurarme de que no cometí ningún error.

Bien, veamos nuestra gran función. Sé que es una función compuesta, así que llamemos a esta función interna u . Entonces u = 2 sin ( t ). Si tomo la derivada de u , obtengo du = 2 cos ( t ) * dt . Esto es como decir dt = du / (2 cos ( t ). Así que sustituyamos dt en nuestra integral original y sustituyamos 2 sin ( t ) y reemplázalo con u . Termino con la integral de cos ( u ) * cos ( t ) * du / (2 cos ( t ). El cos (t ) s se cancelan y termino con la integral de 1/2 cos ( u ) * du . Bueno, cos ( u ) * du es una integral fácil. Es solo sin ( u ) * du , porque si tomo la derivada de sin ( u ) obtengo cos ( u ). Así que puedo resolver este u -basado integrales, 1/2 cos ( u ) * du , y me da medio sin ( u ) + una constante de integración, C .

Mi ecuación original tenía t en ella, no u , así que reemplacemos la u con 2 sin ( t ). Después de haber hecho esto, encontramos que nuestra integral es igual a 1/2 sin (2 sin ( t )) + una constante de integración, C , porque es una integral indefinida; no tiene limites.

Reemplaza la u con 2 sin (t) ya que la ecuación original tenía t en ella

Entonces, ¿qué significa esto para mis ingresos, el saldo de mi cuenta, a lo largo del tiempo? Si solo grafica la anti-derivada e ignoro la constante de integración, sé que el saldo de mi cuenta está en negro. Así que tengo dinero hasta … aquí mismo. En este punto, digamos que tengo un crédito con el banco. Luego termino ganando suficiente dinero el mes que viene para volver a lo negro y repetir todo el proceso una vez más.

Controlarte a ti mismo

Antes de completar toda mi información fiscal basándome en mi saldo bancario actual, verifiquemos para asegurarnos de que calculé esta integral correctamente. Así que aquí está mi 1/2 pecado (2 pecado ( t )) + C y voy a tomar la derivada de eso con respecto a t . Bien, la derivada de una constante es 0. Puedo sacar este 1/2 y obtengo 1/2 d / dt (sin (2 sin ( t ))).

Debido a que esta es una función compuesta, usaré la regla de la cadena. Primero voy a tomar la derivada del exterior, que es cos (2 sin ( t )). Voy a multiplicar eso por la derivada del interior, que es d / dt (2 sin ( t )). Esto me da 2 cos ( t ). Y puedo simplificar cancelando estos 2 y obtengo cos ((2 sin ( t )) * cos ( t ). Ese es mi integrando original, por lo que parece que no lo arruiné.

Sustituciones en U difíciles

Usar la regla de la cadena para ver si la integral se calculó correctamente

A veces, las sustituciones de u pueden ser muy complicadas. Primero, no siempre funcionarán. En segundo lugar, es posible que no sepa qué utilizar para una sustitución.

Digamos que vas a tomar la integral de sin ( x ) * cos ( x ) * dx . En realidad, no hay nada entre paréntesis que desee sustituir, por lo que es posible que tenga que probar cosas diferentes. Aquí, voy a probar u = sin ( x ). Si u = sin ( x ), entonces la derivada de u , du , es igual a cos ( x ) * dx . Esto funciona muy bien, porque la primera parte de mi integrando se convierte en u , y la segunda parte se convierte en du , así que solo estoy integrando udu . Eso me da 1/2 u ^ 2 +C .

Si conecto sin ( x ) para u , termino con medio (sin ( x )) ^ 2 + C . Si lo verifico tomando la derivada de 1/2 (sin ( x )) ^ 2 + C , obtengo 1/2 de la derivada de la función externa: el paréntesis al cuadrado, por lo que eso es 2 veces lo que está dentro del paréntesis, sin ( x ) – multiplicado por la derivada del interior, que es (sin ( x ) * d / dt (sin ( x )). Los 2 se cancelan y obtengo sin ( x ) * cos ( x ), que era mi original integrando. Así que funcionó.

Resumen de la lección

For most integrals that you have to solve by hand, you’ll either be able to look them up in a table, or you’ll be able to solve them by u substitution. This just means you’re going to pick part of your function and substitute u for that part of the function. Then you’re going to find du, the derivative of what you substituted, say, g(x). So u=g(x), du=g`(x) * dx. You’re going to put those into your original integrand so you’re taking the integral over something that is a function of u. Una vez que encuentre la anti-derivada, volverá a conectar sus sustituciones para que termine deshaciéndose de todas las u y solo tenga una función que dependa de x . Ahora bien, si esto no funciona, tal vez necesite probar una sustitución diferente. Quizás en lugar de sin ( x ) debería ser cos ( x ).

Es una especie de método de prueba y error para hacer las cosas, pero para ser honesto, así es mucha integración. A menos que esté en una mesa, hay muchas pruebas y errores. Pero la sustitución de u es siempre una buena primera opción cuando intentas resolver una integral.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador