Teorema del binomio: aplicaciones y ejemplos

El teorema del binomio

Comencemos presentando el teorema del binomio . Este teorema es un teorema muy útil y le ayuda a encontrar la expansión de binomios elevados a cualquier potencia. Puede ayudarlo a encontrar respuestas a problemas binomiales como:

• (3 x + 4 y ) 5
• (10 x – 2 y ) 10
• ( x + y ) 12

Observe cómo estos binomios no son simplemente cuadrados o triplicados. No, estos tienen poderes mucho más altos. Ahora, puede hacer esto a mano, pero los cálculos pueden volverse bastante complicados y difíciles de seguir en papel. Solo piensa en cuántos términos obtienes cuando elevas al cuadrado un binomio. Tendrás muchos más cuando uses poderes de 4 o más. Puede ensuciarse. Entonces, a los matemáticos se les ocurrió y demostraron el Teorema del Binomio para resolver estos problemas. Aquí está el teorema expresado de manera formal.

El bit entre paréntesis es en realidad parte de la estadística y la probabilidad y significa que n elige k . Utiliza factoriales para calcular el número.

Ahora, veamos cómo se puede utilizar el teorema del binomio con tres aplicaciones diferentes.

Índice integral positivo

Comencemos aplicando el teorema del binomio para encontrar el índice integral positivo. El índice integral positivo usa solo potencias positivas, por lo que todos sus n son números enteros positivos. Esta es una aplicación sencilla del teorema del binomio. Seguirás la fórmula tal como la ves.

Este es el teorema del binomio usado para expandir este problema: (2 x + y ) 4

Todo se conectó al problema y luego se evaluó. Muy claro. No es tan complicado como expandirlo multiplicándolo un término a la vez y luego combinando todos los términos similares.

Índice racional

Otra aplicación del teorema del binomio es para el índice racional. Aquí es cuando cambia la forma de su binomio a una forma como esta:

• (1 + x ) n , donde el valor absoluto de x es menor que 1 y n puede ser un número entero o una fracción

Puede acceder a este formulario dividiendo su binomio por a de esta manera.

• ( a + b ) 5 => (1 + b / a ) 5

El valor absoluto de su x (en este caso b / a) tiene que ser menor que 1 para que esta fórmula de expansión funcione.

Aquí está la fórmula para usar para el índice racional:

Para usar esta forma del teorema del binomio, debes asegurarte de que el valor absoluto de x sea ​​menor que 1. Esto generalmente se indica en el problema en alguna parte. Esta fórmula se puede utilizar para cualquier potencia, número entero y fracción. Como puede ver, esto le da una serie infinita.

Al igual que el teorema binomial para el índice integral positivo, inserta tus valores y evalúa. Lo único adicional que puede tener que hacer es averiguar a qué converge su serie infinita (aunque esto no se discutirá en esta lección).

Aquí hay un ejemplo del uso de la fórmula del teorema del binomio para el índice racional para expandir este binomio: (1 + x ) 4 , donde el valor absoluto de x es menor que 1.

Aproximación binomial

Ahora, veamos una aplicación más del teorema del binomio llamada aproximación binomial. La aproximación binomial en realidad lleva el teorema del binomio para el índice racional un paso más allá.

De acuerdo con la aproximación binomial, cuando su x está cerca de 1, su serie infinita se puede aproximar mediante los dos primeros términos.

• (1 + x ) n = 1 + nx

Nuevamente, el valor absoluto de x aquí tiene que ser menor que 1 para que esta aproximación sea cierta.

Usemos esta aproximación para este problema: (1 + x ) 4

Sí, es el mismo problema que antes. Según la aproximación binomial, la respuesta corta para esta expansión es esta:

• (1 + x ) 4 = 1 + 4 x

Resumen de la lección

El teorema del binomio te ayuda a encontrar la expansión de binomios elevados a cualquier potencia.

Para el índice integral positivo o enteros positivos, esta es la fórmula:

Para el índice racional, la fórmula es:

Para la aproximación binomial del índice racional:

• (1 + x ) n = 1 + nx

Tanto para el índice racional como para la aproximación binomial, el valor absoluto de x debe ser menor que 1. Entonces y solo entonces las fórmulas serán válidas y te darán una respuesta correcta o aproximada.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador