Postulados y Teoremas en Matemáticas: Definición y Aplicaciones

¿Qué es un postulado?

Suponga que decide participar en un proyecto de investigación grupal para un nuevo producto para el crecimiento del cabello que una empresa está probando. Cuando vayas a la reunión del grupo, lo primero que tienes que hacer es rellenar un cuestionario preguntando cuál es el largo inicial de tu cabello antes de usar el producto. Mientras todos hacen esto, una mujer del grupo, Angie, afirma que tiene el pelo más largo del grupo. Echa un vistazo rápido a su alrededor y parece que tiene el pelo más largo de todas las personas del grupo.

Ahora, ¿vas a aceptar su declaración como verdadera, o vas a sacar una cinta métrica y medir la longitud del cabello de todos para verificar la veracidad de su declaración? Lo más probable es que aceptes su declaración como verdadera, porque es bastante obvio que tiene el pelo más largo del grupo.

En matemáticas, llamamos a una declaración como esta un postulado. Un postulado es una afirmación que se acepta como verdadera sin tener que probarla formalmente. De la misma manera que era bastante obvio que el cabello de Angie era el más largo del grupo, los postulados en matemáticas suelen ser fáciles de aceptar como verdaderos usando un razonamiento matemático simple. Es por eso que no necesitan ser probados formalmente.

Por ejemplo, un postulado muy conocido en matemáticas es el postulado de la suma de segmentos, que establece lo siguiente:

• Postulado de la suma de segmentos: si un punto, B, se dibuja en un segmento de línea AC, entonces AC es la suma de AB y BC. Es decir, AB + BC = AC.

Mirando la imagen de este postulado, vemos que es obvio que si dividimos un segmento de línea en dos partes, luego sumando esas dos partes nos dará el segmento de línea original. Por lo tanto, aceptamos el postulado como verdadero sin tener que demostrarlo.

Ahora que estamos familiarizados con lo que es un postulado, ¡echemos un vistazo a los teoremas!

¿Qué es un teorema?

Ahora, suponga que uno de los efectos secundarios del producto para el cabello es que puede causar el acortamiento del dedo índice derecho del usuario, por lo que otra pregunta en el cuestionario pregunta por la longitud del dedo índice del participante antes de usar el producto. George, un miembro del grupo, afirma que su dedo índice es el más largo del grupo. Hmm… La declaración de George no es tan obvia como la declaración de Angie porque la longitud de los dedos índices de todos se ve bastante similar. En este caso, continúa y mide los dedos índices derechos del grupo, y resulta que el dedo índice de George es, de hecho, el más largo del grupo.

En este caso, la declaración de George se probó formalmente y luego se aceptó como verdadera. En matemáticas, llamamos a esto un teorema. Un teorema es una afirmación que no siempre es obvia, pero que se ha demostrado mediante razonamiento matemático, junto con otros teoremas y postulados.

Por ejemplo, un teorema matemático bien conocido es el teorema del punto medio, y establece lo siguiente:

• Teorema del punto medio: si M es el punto medio de un segmento AB, entonces AM = (1/2)AB y MB = (1/2)AB.

La prueba de este teorema hace uso del postulado de la suma de segmentos y se muestra en la imagen, pero avancemos rápidamente a través de los diferentes pasos:

¡Vemos que tanto los postulados como los teoremas son extremadamente útiles en las demostraciones de teoremas! Echemos un vistazo a una aplicación de postulados y teoremas en un par de situaciones del mundo real.

Aplicaciones del mundo real

Otro postulado simple en matemáticas es el Postulado de la suma de ángulos, que establece lo siguiente:

• Postulado de la suma de ángulos: si tenemos un ángulo y dibujamos un rayo que divide ese ángulo en dos nuevos ángulos, entonces la suma de las medidas de los dos nuevos ángulos es igual a la medida del ángulo original.

Supongamos que un arquitecto está trabajando en algunos planos de un proyecto y tiene una situación en la que necesita saber la medida de un ángulo que ha sido dividido en dos por otro rayo. Las medidas de los dos ángulos que forman el ángulo son 45° y 80°.

¡Podemos usar nuestro postulado de suma de ángulos para encontrar la medida del ángulo sumando las medidas de los dos ángulos!

• 45 + 80 = 125°

La medida del ángulo es de 125° y vemos cómo se pueden usar los postulados en aplicaciones del mundo real. ¡Consideremos uno más!

Un teorema bien conocido es el Teorema de Pitágoras.

• Teorema de Pitágoras: si un triángulo rectángulo tiene lados de longitud a , b y c , donde c es el lado más largo o la hipotenusa, entonces a ² + b ² = c ² .

Suponga que en un mapa las carreteras que conectan tres ciudades forman un triángulo rectángulo como se muestra en la imagen que aparece en su pantalla en este momento.

Mostramos que la distancia entre la ciudad A y la ciudad B es de 30 millas, y la distancia entre la ciudad B y la ciudad C es de 40 millas. ¡Podemos encontrar la distancia entre la ciudad A y la ciudad C usando el Teorema de Pitágoras! Simplemente reemplazamos a = 30 y b = 40 en la fórmula y resolvemos para c . Como podemos ver aquí, lo que obtenemos es primero:

Por lo tanto, obtenemos que la distancia entre la ciudad A y la ciudad C es de 50 millas. ¡Guau! ¡Estos postulados y teoremas son realmente útiles en el mundo real!

Resumen de la lección

Muy bien, tomemos un momento o dos para repasar lo que hemos aprendido. Primero aprendimos que un postulado es una declaración que se acepta como verdadera sin tener que probarla formalmente. Los postulados suelen ser fáciles de aceptar como verdaderos usando un poco de razonamiento matemático simple. Un teorema , por otro lado, es una afirmación que no siempre es obvia, pero que ha sido demostrada usando razonamiento matemático y otros teoremas y postulados.

Los teoremas y postulados son extremadamente útiles en aplicaciones matemáticas. Podemos usarlos para probar otros teoremas y también podemos usarlos en aplicaciones del mundo real. ¡Obviamente, definitivamente vale la pena guardar estos conceptos en nuestras cajas de herramientas matemáticas para uso futuro!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador