Usar límites para calcular la derivada

Revisión de derivados

¿Recuerda que la derivada es una forma matemática de describir la tasa de cambio? Al observar alguna función en un gráfico, es la pendiente. Para alguna función y = f (x) , decimos que la derivada es dy / dx . Esa es la cantidad y está cambiando a medida x cambios. También llamamos a esto y` o f` (x) , porque x aquí es nuestra variable independiente. Formalmente, escribimos esto como f` (x) es igual al límite, ya que algún delta x va a cero, de f ( x + delta x ) – f (x) , todo dividido pordelta x .

Ahora, en realidad, todo lo que esto dice es que vamos a calcular la pendiente en alguna gráfica cuando delta x llegue a cero. Esto es solo calcular la tangente. Entonces, calculemos la derivada usando esta definición formal.

En el ejemplo del automóvil, x es una velocidad constante siempre igual a 60

Derivada de una velocidad constante

Digamos que está en su automóvil y va exactamente a 60 millas por hora. Ya sabe que esta es su tasa de cambio, o cómo está cambiando su posición en función del tiempo. Espera que 60 sea su derivada cuando mira su posición en función del tiempo. Si conduce durante una hora exactamente a 60 mph, recorre 60 millas. Así que aquí está su posición en función del tiempo. Podemos escribir esto matemáticamente como la posición es igual a la velocidad por el tiempo. Para este ejemplo, es x = 60 t , donde x es su posición en millas y t es la cantidad de horas que ha estado conduciendo.

Encontremos la derivada de esto. Si escribo la ecuación para su posición, x = 60 t , podría decir que esto es x = f (t) . Ahora t aquí es la variable independiente. La derivada, entonces, será dx / dt o x` o f` (t) . Formalmente, escribimos esto como el límite, ya que delta t llega a cero (porque t es su variable independiente) de ( f ( t + delta t ) – f (t) ) / delta t . Así que conectemos nuestra función: f ( t +delta t ) es 60 ( t + delta t ) yf (t) es 60 t . Podemos expandir estos términos y simplificar, luego calcular dx / dt como 60, que es exactamente lo que pensamos que sería porque vamos a 60 mph. Tenga en cuenta que 60 no depende del tiempo. Tu x` , o velocidad, es siempre 60, sin importar si es tiempo = 0 o tiempo = 1 o 15 horas a partir de ahora. Siempre va a ser constante.

Derivada de una velocidad no tan constante

La pendiente de Super C aumenta al principio y luego se vuelve negativa a medida que cae

Veamos un caso en el que eso no es cierto. Veamos a Super C, la bala de cañón humana. Podemos graficar su altura en función del tiempo, donde la altura está en pies y el tiempo en segundos. Digamos que la ecuación para su altura en función del tiempo es -16 t ^ 2 + 36 t . Sabemos que la derivada es la pendiente en esta gráfica. Y la pendiente no es la misma en todos los momentos. Aquí, la pendiente es diferente a aquí. De hecho, al comienzo de este gráfico, la pendiente está aumentando. Es una pendiente positiva. Está subiendo. A medida que pasa el tiempo, la pendiente es negativa. Está cayendo de nuevo al suelo.

Entonces, ¿cómo podemos escribir esto? ¿Cómo podemos encontrar su velocidad, su velocidad ascendente, en función del tiempo? Necesitamos calcular la derivada de esto. Entonces, si la función es la altura en función del tiempo ( h = f (t) ), entonces la derivada es dh / dt . Formalmente, escribo esto como el límite, cuando delta t va a cero, de ( f ( t + delta t ) – f (t) ) / delta t . Sustituyamos f ( t + delta t ) y f (t) y simplifiquemos. Entonces conectamos f ( t + delta t) y conectamos f (t) : (-16 ( t + delta t ) ^ 2 + 36 ( t + delta t )) – (-16 t ^ 2 + 36 t ). Ahora tenemos que expandir esto ( t + delta t ) ^ 2: (-16 ( t ^ 2 + 2 ( delta t ) * t + delta t ^ 2) + 36 ( t + delta t )) – (-16 t ^ 2 + 36 t ) Entonces podemos simplificar y eliminar algunos términos, como -16 t ^ 2 + 16 t ^ 2 y + 36 t – 36 t .

Cuando simplificamos, obtenemos esto: (36 ( delta t ) – 32 ( delta t ) * t – 16 ( delta t ^ 2)) / delta t . Si recordamos cómo encontrar el límite de un polinomio dividido por otro polinomio, sabemos que tenemos que dividir tanto la parte superior como la inferior por delta t , porque ese es el orden más alto aquí en la parte inferior. Si hacemos eso, encontramos que la derivada, dh / dt , es igual al límite, cuando delta t va a cero, de 36 – 32 t – 16 ( delta t ), todo sobre 1. Bueno, esto es solo 36 – 32 t . Entonces tenemos la altura en función del tiempo, h (t) , es igual a -16t ^ 2 + 36 t . La derivada, qué tan rápido sube y baja Súper C, es h` (t) = -32 t + 36.

Graficar la derivada

Graficar la derivada para el ejemplo de Super C

Grafiquemos estos. Tenemos h (t) , h en función de t , y tenemos la derivada, h` (t) . Puede calcular que Super C va a tocar el suelo después de 2,25 segundos. Así que tenemos que graficar la derivada hasta t = 2.25. Este gráfico pasa por cero; en algún momento, su velocidad ascendente es cero. Esto tiene sentido, porque cuando Super C alcanza el vértice de su curva, no tiene velocidad ascendente. Simplemente se sienta allí por un instante. Podemos averiguar cuándo sucede esto si averiguamos cuándo h` (t) es igual a cero. Y h` (t) es igual a cero en t= 1,125 segundos. Entonces, aproximadamente 1 segundo después de su vuelo, no se mueve, justo antes de comenzar a caer nuevamente.

Ahora, ¿qué tan alto llega? Bueno, su altura máxima es cuando deja de moverse. Entonces su altura máxima está en t = 1.125. Enchufe 1.125 en la función para su altura en función del tiempo: h = -16 (1.125) ^ 2 + 36 (1.125). Si miro qué tan alto está Super C en t = 1.125 segundos, descubro que en realidad está a unos 20 pies de altura, o en realidad a 20 pies y 3 pulgadas de altura.

Resumen de la lección

Ahora podemos encontrar la pendiente o tasa de cambio o derivadas usando la definición formal de derivada. Entonces, para y = f (x) ( x es su variable independiente), y` es el límite, cuando delta x va a cero, de ( f ( x + delta x ) – f (x) ) / delta x .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador