Vectores de base estándar: Definición y ejemplos

¿Qué son los vectores de base estándar?

Piense en la clase de matemáticas de la escuela. Eso podría ser hace mucho tiempo para algunos de ustedes, o simplemente ayer. Pero cuando fue así, en algún momento de tus muchas clases de matemáticas, probablemente usaste papel cuadriculado. Y cuando eras muy joven, tu papel cuadriculado probablemente no era más que una serie de cajas de medio centímetro. ¿Por qué las cajas eran de medio centímetro? ¿Por qué no 1 centímetro? ¿O 1 milímetro? ¿O simplemente un tamaño aleatorio? A los efectos de las matemáticas, el tamaño de las cajas es algo arbitrario. Realmente no importa.

Pero, ¿cómo hubiera ido la clase de matemáticas si no hubieras tenido cajas? Probablemente no muy bien. Necesita algún tamaño de caja para comparar una longitud de línea con otra, para mantener la coherencia. Lo mismo ocurre con los vectores unitarios, también conocidos como vectores básicos estándar.

Un vector de base estándar es un vector de 1 unidad de longitud que apunta directamente en línea con un eje. Podría tener un vector unitario de eje x , que tendría un cuadrado de cuadrícula de largo en la dirección x y se vería así:

O una y eje x vector unitario, lo que sería una cuadrícula de largo en el y -dirección y tener este aspecto:

O puede ir también al eje z si le gusta complicar las cosas. Pero estos vectores básicamente representan el tamaño de los cuadros en su papel cuadriculado.

En física, el tamaño de las cajas que usamos suele ser de 1 metro. Realmente nos gustan los metros, son nuestra unidad estándar de longitud. Pero sea lo que sea, representamos este tamaño con una i para el vector unitario de dirección x , una j para el vector unitario de dirección y , y si entramos en 3D, usaríamos una k para el vector unitario de dirección z . Tienen una longitud de 1 unidad cada uno, ya sea de 1 metro, 1 centímetro o 1 newton (por fuerza).

¿Cómo son útiles los vectores de base estándar?

Bien, pero si el tamaño de los cuadrados de la cuadrícula es arbitrario, ¿por qué tenemos vectores unitarios? ¿Cómo se utilizan realmente?

Para ser honesto con usted, si salimos de la teoría matemática abstracta y nos adentramos en el mundo real, la razón por la que usamos vectores unitarios es simplemente porque se ve más ordenado.

Digamos que está reorganizando los muebles de su casa y empujando el sofá hacia abajo en ángulo mientras lo desliza por el piso, haciendo mucho ruido y molestando a los vecinos. Estás empujando diagonalmente en dos dimensiones: la x y la y . Podrías dividir esa fuerza en dos componentes, y digamos, según el ángulo que estás empujando, estás empujando con 40 newtons en la dirección x y 10 newtons en la dirección y . 40 newton hacia adelante, 10 newton abajo.

Pero escribir “40 newtons hacia adelante y 10 newtons hacia abajo” es un poco inconveniente. Queremos una forma más sencilla de escribirlo. Entonces, si usamos cuadrados de cuadrícula del tamaño de 1 newton, podríamos decir que su vector de fuerza es 40 i – 10 j newtons. Ese 10 es negativo solo porque estás presionando hacia abajo, y tendemos a definirlo como positivo. (Aunque en realidad eso también es arbitrario).

Sin embargo, lo importante es que esto proporciona una buena forma de escribir el valor de un vector en forma de componente. Y esa es la razón por la que lo usamos en física.

Ejemplos

Pongamos esta idea en un par de escenarios de física de la vida real, para ayudarnos a entenderla.

Un día estás conduciendo tu coche. Es uno de esos coches elegantes con todas las campanas y silbidos. También tiene una brújula incorporada. Esa brújula dice que te diriges directamente al noreste. Y después de convertir en unidades estándar, se da cuenta de que viaja a 40 metros por segundo. Usando un poco de geometría de romper esa cifra en 40 x e Y. componentes (como se discute en otra lección), se encuentra que esto es equivalente a 28,3 m / s este y 28,3 m / s hacia el norte. Está perfectamente equilibrado porque vas a medio camino entre el norte y el este. Si usamos la dirección este-oeste como nuestro eje x y la dirección norte-sur como nuestro eje y , eso significa que su vector de velocidad podría escribirse como 28.3 i + 28.3 j metros por segundo.

O qué tal otro día, estás jugando con algunos imanes de nevera en la mesa de tu comedor. Esta vez agarras una brújula de mano y te das cuenta de que los imanes de la nevera desvían la brújula. En una posición particular cerca del imán, la brújula apunta a 35 grados hacia el lado más largo de la mesa. La aguja de la brújula le indica el campo magnético, y digamos que la intensidad del campo magnético del imán en ese punto es de 0,1 teslas. ¿Cuál es el campo magnético en ese punto en forma de componente?

Nuevamente, usando algo de geometría, podemos determinar que 0.1 teslas a 35 grados resulta ser equivalente a 0.08 teslas a lo largo de la mesa y 0.06 a lo largo del lado más corto de la mesa. Si el lado más largo de la mesa es nuestra y eje x y el lado más corto es nuestro x eje x, esto significa que el vector de campo magnético podría ser escrito como 0,06 i – 0.08 j Teslas.

Resumen de la lección

Un vector de base estándar es un vector de 1 unidad de longitud que apunta directamente en línea con un eje. Es como el tamaño de las cajas en nuestro papel cuadriculado. Representamos este tamaño de caja con una i para el vector unitario de dirección x , una j para el vector unitario de dirección y , y si entramos en 3D, usaríamos una k para el vector unitario de dirección z . Usamos vectores unitarios porque es una forma agradable y ordenada de representar un vector que se ha dividido en componentes. Entonces, en lugar de escribir ’40 newtons hacia adelante y 10 newtons hacia abajo ‘, podemos simplemente escribir 40 i – 10 j . Y eso es todo lo que hay que hacer.

Los resultados del aprendizaje

Después de completar esta lección sobre vectores de base estándar, evalúe su capacidad para:

• Caracterizar un vector base estándar
• Tenga en cuenta la utilidad de estos vectores
• Indique el propósito de usar vectores de base estándar