Vectores propios: propiedades, aplicación y ejemplo

Vectores propios

Los tornillos son como vectores.

Los pernos vienen en diferentes longitudes para diferentes necesidades. ¿Qué pasa si un perno es más largo que el otro pero apunta en la misma dirección? ¿Es un perno como un vector?

En matemáticas, cuando multiplica un vector por un número, el vector permanece en la misma dirección pero la longitud puede cambiar. ¿Qué pasa si multiplicamos un vector por una matriz? ¡Podría ensuciarse bastante! En general, el vector cambia tanto en longitud como en dirección. ¿Y si una matriz tuviera algunos vectores especiales? Multiplica estos vectores especiales por la matriz y obtienes el vector multiplicado por un factor de escala.

Estos vectores especiales se denominan vectores propios de una matriz. Cuando multiplicamos el autovector por la matriz, el autovector permanece en la misma dirección. Simplemente se escala. En esta lección, mostraremos cómo encontrar vectores propios y cómo se pueden usar para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.

Encontrar vectores propios

Para mantener nuestros cálculos matemáticos factibles con lápiz y papel, el tamaño de las matrices será de dos filas y dos columnas. Para matrices más grandes, usaríamos una computadora para hacer los cálculos. Una matriz nos da una forma de organizar los números. Por ejemplo, vamos a hacer algunos cálculos con los siguientes números: 7, 4, -5 y -2. Pondremos estos números en una matriz llamada ‘A’:

Luego restamos la cantidad λ de los números en la diagonal principal . En nuestro ejemplo, la diagonal principal tiene los números 7 y -2. Nuestra matriz ahora se ve así:

A continuación, tomamos el determinante. Si no está familiarizado con las operaciones con matrices, como encontrar determinantes y multiplicación de matrices, le invitamos a consultar otras lecciones que cubren este material con mayor detalle. El determinante es el resultado que obtenemos al multiplicar (7-λ) por (-2 – λ). Esto nos da (7 – λ) (- 2 – λ). De este resultado, restamos la multiplicación de -5 por 4. Hasta ahora, tenemos (7 – λ) (- 2 – λ) – (-5) 4. Podemos escribir ‘det’ como determinante. Esto es lo que tenemos hasta ahora:

Luego, igualamos el determinante a cero y resolvemos para λ. Es decir, λ 2 – 5λ + 6 es igual a 0. Podemos factorizar λ 2 – 5λ + 6 en (λ – 3) (λ – 2). ¡Esto es genial! Hay dos valores posibles para λ: podría ser 3 y podría ser 2.

Para λ = 3, sustituya λ en la matriz:

Hay un vector propio v1 que va con la primera λ. Usamos las letras ‘a’ y ‘b’ para los valores desconocidos de v1. Multiplicar la matriz con el vector propio y establecer esto en cero da:

La multiplicación de la matriz A por v1 da 4a – 5b = 0. Esto es 2 incógnitas y una ecuación. Podemos elegir un valor para una de las incógnitas y esto nos da la segunda incógnita. Por ejemplo, dejar a = 1 significa b = 4 (a) / 5 = 4 (1) / 5 = .8. Para λ = 3, v1 tiene los números 1 y .8.

Para el otro valor de λ obtenemos v2 con los números 1 y 1. ¿Qué significa todo esto? Multipliquemos nuestra matriz A original por el vector v1:

Por lo general, cuando multiplicamos un vector por una matriz, obtenemos un vector diferente. El vector cambiará. En nuestro caso, multiplicamos v1 por A y obtenemos v1. Hay un factor de escala, pero la v1 sigue ahí. El factor de escala es 3, que era nuestro valor de λ. Este valor de λ se llama valor propio . El vector v1 permanece y se denomina vector propio asociado con ese valor propio en particular.

El otro valor propio también tiene un vector propio. Para λ = 2, encontramos que v2 tiene los números 1 y 1. Podemos mostrar que v2 es el vector propio asociado con el valor propio 2 para la matriz A al multiplicar v2 por A. El resultado es el valor propio multiplicado por el vector propio. Obtenemos 2 veces v2:

Parece que nuestro cerrojo va en la misma dirección y hemos logrado unir algunas ideas clave. Ahora es el momento de crear una aplicación: resolver ecuaciones diferenciales utilizando vectores propios.

Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales

Digamos que tenemos dos variables, x e y . Cada una de ellas es función del tiempo y podemos tomar la derivada del tiempo de cada una de estas variables. El pequeño punto encima de la variable significa «derivada con respecto al tiempo». Aquí hay un ejemplo de un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales con x , y y sus derivadas en el tiempo:

Podemos escribir esto como la derivada de un vector igual al producto de una matriz por el vector:

Esta matriz es la misma matriz A con la que trabajamos anteriormente. Entonces ya conocemos los autovalores y los autovectores asociados para esta matriz. La solución para x e y se puede escribir sólo con esta información. Sin demasiada justificación aparte de que funciona, la solución será:

C1 y c2 son constantes que encontraremos más adelante. Para nuestro caso, la solución es:

Lo que esto dice es x = c1 e 3 t + c2 e 2 t y y = .8c1 e 3 t + c2 e 2 t . Podemos comprobar sustituyendo en las ecuaciones originales. El lado izquierdo (LHS) debe ser igual al lado derecho (RHS). Para la primera ecuación:

¡Esto comprueba! El LHS es igual al RHS. Comprobemos la segunda ecuación:

¡Esto también comprueba! Tenemos una solución para ambas ecuaciones.

¿Qué pasa con esas constantes c1 y c2? Si en el tiempo t = 0, x es igual a 0 e y es igual a -2. Sustituyendo t = 0 en nuestras soluciones y despejando las constantes da c1 = 1 y c2 = -1. Nuestra solución final se convierte entonces en:

Son muchos conceptos para unir. ¡Me alegro de que tengamos suficientes tornillos!

Resumen de la lección

Una matriz multiplicada por un vector produce una versión escalada del vector cuando el vector es un vector propio de la matriz. El factor de escala es el valor propio . En esta lección, resolvimos un sistema de ecuaciones diferenciales lineales usando valores propios y vectores propios.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador