Ecuaciones lineales
Las ecuaciones lineales , como su nombre indica, son ecuaciones de líneas rectas. Cuando grafica estos tipos de ecuaciones, obtienes una línea recta. Ahora estas líneas pueden ser horizontales, verticales o inclinadas. Cuando emparejas dos de estas ecuaciones, puedes compararlas entre sí. A veces, las ecuaciones se cruzan entre sí, otras veces no, y otras veces pueden formar una intersección perfectamente perpendicular donde cada uno de los ángulos en la intersección es de 90 grados.
En esta lección de video, son las gráficas de un par de ecuaciones lineales las que estamos considerando. Consideraremos el caso donde las líneas nunca se encuentran (cuando son paralelas) y el caso donde las líneas forman una intersección perfectamente perpendicular. Veremos las interesantes propiedades que presenta cada caso. Verá cómo estas propiedades realmente le facilitan la identificación de sus ecuaciones que son paralelas y sus ecuaciones que son perpendiculares.
Comenzamos recordando que nuestras ecuaciones lineales se escriben con mayor frecuencia en forma pendiente-intersección , que es y = mx + b , donde m es nuestra pendiente y b es nuestra intersección y . Es esta forma la que nos resultará más útil para determinar si dos líneas son paralelas o perpendiculares. Veamos cómo.
Ecuaciones paralelas
Las ecuaciones paralelas son ecuaciones en las que las líneas nunca se encuentran. Imagine dos caminos que corren uno al lado del otro y tendrá un par de líneas paralelas. Estos caminos son paralelos porque nunca se encuentran ni se cruzan. Cuando tenemos un par de rectas paralelas y sus ecuaciones, podemos decir fácilmente que son paralelas simplemente comparando las ecuaciones.
Verá, cuando dos líneas son paralelas, sus pendientes serán las mismas y sus intersecciones en y serán diferentes. Entonces, lo que estamos buscando es la misma pendiente con diferentes intersecciones en y . Por ejemplo, las ecuaciones y = 3 x + 4 e y = 3 x + 3 son paralelas porque sus pendientes son las mismas y sus intersecciones y son diferentes. ¿Qué sucede cuando los graficamos? Obtenemos dos líneas que nunca se cruzan así:
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Ecuaciones perpendiculares
Ahora, ¿qué pasa con las líneas perpendiculares, líneas que forman ángulos de 90 grados cuando se cruzan? Imagínese las intersecciones en las áreas del centro de una ciudad y verá caminos perpendiculares. ¿Qué buscamos en esta situación?
En este caso, lo único que debemos observar es la pendiente. Las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas entre sí. ¿Qué significa esto? Significa que tomamos una pendiente y dividimos 1 por esa pendiente, y luego ponemos un signo negativo al frente.
Entonces, si una pendiente es 3, entonces el recíproco negativo es -1/3. El recíproco negativo de -1/3 es – (1 / (-1/3)), que se convierte en 3 después de evaluarlo aplicando nuestras habilidades básicas de álgebra. Entonces, podemos decir que 3 y -1/3 son recíprocos negativos entre sí.
Otra forma en que podemos pensar en los recíprocos negativos es que son versiones negativas invertidas entre sí. Observe cómo el numerador y los denominadores han cambiado de lado y tenemos un signo negativo. Entonces, si vemos un par de ecuaciones cuyas pendientes son recíprocas negativas entre sí, entonces estamos viendo un par de líneas perpendiculares.
Por ejemplo, las ecuaciones y = -4 x + 2 e y = 1/4 x + 2 son perpendiculares entre sí debido a sus pendientes: -4 y 1/4 son recíprocos negativos entre sí. ¿Ves cómo estos números son versiones negativas y volteadas entre sí? ¿Cómo se ven estos gráficos? Se ven así:
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Un gráfico
Veamos una gráfica y veamos si podemos decir si tiene líneas paralelas o perpendiculares. ¿Son estas líneas paralelas o perpendiculares?
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Comenzamos buscando dos puntos en cada línea que podamos usar para encontrar nuestras pendientes. Para la línea roja, vemos que podemos usar los puntos (0, 2) y (-3, 0). Para la línea azul, podemos usar los puntos (0, -2) y (2, -5). Para calcular las pendientes, usamos lo que sabemos sobre cómo encontrar pendientes, que nuestra pendiente es igual al cambio en y sobre el cambio en x .
Entonces, para nuestra línea roja, la pendiente es (0 – 2) / (-3 – 0) = -2 / -3 = 2/3. Para nuestra línea azul, la pendiente es (-5 – (-2)) / (2 – 0) = (-5 + 2) / 2 = -3/2.
¿Qué es lo que sabes? Estas pendientes son recíprocas negativas entre sí. Parecen versiones negativas invertidas entre sí. Esto significa que mis líneas son perpendiculares entre sí. Eso fue bastante fácil.
Resumen de la lección
Hemos terminado nuestra lección ahora. Repasemos lo que hemos aprendido. Hemos aprendido que las ecuaciones lineales son ecuaciones de líneas rectas. La forma que nos resulta más útil para encontrar si dos ecuaciones lineales son paralelas o perpendiculares es la forma pendiente-intersección , que es y = mx + b . Hemos aprendido que las líneas paralelas tienen pendientes iguales y las intersecciones en y son diferentes.
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Las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas entre sí. Podemos pensar en un recíproco negativo como la versión negativa invertida. Para saber si un par de líneas gráficas son paralelas o perpendiculares, calculamos las pendientes de cada línea para ver si son iguales o si son recíprocas negativas entre sí. Si son recíprocos negativos entre sí, entonces las líneas son perpendiculares. Si son iguales y las líneas se cruzan en un punto diferente del eje y , entonces son paralelas.
Los resultados del aprendizaje
Tendrá la capacidad de hacer lo siguiente después de ver esta lección en video:
- Definir ecuaciones lineales y la forma pendiente-intersección
- Diferenciar entre rectas paralelas y perpendiculares usando la fórmula pendiente-intersección
- Explica cómo determinar si las líneas de una gráfica son paralelas o perpendiculares.
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