Gráficos polinomiales
Hola y bienvenido a esta lección sobre cómo prepararse mentalmente para su carrera a campo traviesa. ¡Espere! ¿Qué? ¡No! ¿No se supone que esto se trata de correr? Oh, es cierto, esto es Comprender las gráficas polinomiales básicas . Pero puedes pensar en un gráfico de forma muy similar a como pensaría un corredor en el terreno en una carrera larga a campo traviesa. Puede haber partes empinadas o muy planas. En un minuto podría estar corriendo cuesta arriba, luego el terreno podría cambiar de dirección y, de repente, estaría corriendo cuesta abajo.
Al visualizar la posible ruta que correrá, sabe dos cosas a ciencia cierta. Una es que no se le permitirá dejar de correr en la pista (es decir, hasta que termine su carrera). La pista es continua , lo que significa que no hay interrupciones. La otra es que tu carrera será suave : no hay curvas cerradas en la ruta. ¡Sorprendentemente, todas estas cosas también son ciertas para los gráficos polinomiales!
Como puede ver en estos gráficos de polinomios, algunos son empinados, como una carrera por colinas altas, y algunos tienen muchos altibajos:
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Pero ninguno tiene roturas y ninguno tiene giros angulares cerrados. La forma básica de cualquier función polinomial se puede determinar por su grado (el mayor exponente de la variable) y su coeficiente principal . En esta lección, investigaremos estas dos áreas del polinomio para comprender las gráficas polinomiales básicas. Empezaremos con exponentes.
Exponentes: pares o impares
Siempre que se trate de funciones polinomiales, necesitará conocer el grado de la función . Este es el exponente más alto adjunto a cualquier término. El grado del polinomio f ( x ) = x ^ 4 + 2 x ^ 3 – 3 es 4. Se llama función de cuarto grado.
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Los gráficos polinomiales se comportan de manera diferente dependiendo de si el grado es par o impar. En este ejemplo, el gráfico azul es el gráfico de la ecuación y = x ^ 2:
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La gráfica de la función y = x ^ 3 está dibujada en verde.
Puede ver que la función de grado par (la línea azul) comienza y termina en el mismo lado del eje. Esto es cierto para todas las funciones de grado par: comienzan y terminan en el mismo lado del eje x . Lo contrario es cierto para la función de grado impar; Las funciones de grados impares comienzan y terminan en direcciones opuestas.
¿Cuál de estas gráficas representa una función de grado par?
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¿Elegiste la parte superior izquierda y la inferior derecha? ¡Buen trabajo! No importa cuántas curvas tenga una línea, siempre que comience y termine en el mismo lado del eje x , es un polinomio de grado par.
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Exponentes: creciente
Más allá del comportamiento par o impar, el nivel de grado de los exponentes también cambia el aspecto del gráfico. Eche un vistazo a esta imagen de tres funciones de grados pares:
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Éstas son la forma más simple de funciones con solo una variable y un exponente involucrados. Cuando x es cualquier otro número, la gráfica se comporta de manera diferente.
Nuestra función fundamental es y = x ^ 2, y esto muestra la curva más suave. A medida que aumenta el grado, el gráfico se aplana en la parte inferior y, una vez que comienza a subir, lo hace de una manera cada vez más empinada (incluso podría decir que se empina exponencialmente). Es interesante notar que para todas estas funciones simples, cuando x es 1 o -1, y siempre es 1.
Lo mismo ocurre con los gráficos polinomiales de grados impares. En su forma más simple, todos comparten las mismas coordenadas en x = 1 y -1. Fuera de estos dos puntos, cuanto mayor sea el grado, más plano será el gráfico alrededor de cero y más pronunciada será la subida (o bajada).
Coeficientes principales
Los exponentes no son los únicos aspectos de los polinomios que pueden tener un efecto en la gráfica de la función. Un coeficiente principal (que es un coeficiente adjunto al término de grado del polinomio) también tiene un impacto marcado en el comportamiento del gráfico. La función f ( x ) = ax ^ n se llama función de potencia .
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Hasta ahora, solo hemos visto funciones positivas porque hemos estado trabajando solo con las variables y exponentes. Esto supone uno positivo como coeficiente principal. Pero, cuando comenzamos a trabajar con las funciones de potencia verdaderas y dejamos de asumir una positiva para el coeficiente principal, tenemos que preguntarnos, ¿qué pasa si el coeficiente principal es negativo?
En estos gráficos, podemos ver que los coeficientes negativos invierten el gráfico:
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Eso es todo lo que hacen. ¿De qué otra manera puede impactar un coeficiente principal en la gráfica de una función polinomial?
Bueno, en este ejemplo, puede ver nuestra ‘función impar de forma más simple’ original en azul:
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Observe los puntos uniformes de (1, 1) y (1, -1). Recuerde, todos los polinomios simples e impares pasan por estos puntos. Ahora, mire más de cerca la línea verde.
El coeficiente principal es 1/2 y no pasa por los puntos uniformes. En cambio, parece un poco estirado entre la región x = 1 y x = -1 en comparación con nuestra función simple. Por el contrario, la línea rosa con un coeficiente más grande muestra un gráfico pellizcado, acercándose al eje y .
Este patrón se repetirá con todos los coeficientes principales tanto en funciones de grado pares como impares: los coeficientes principales de valores entre -1 y 1 darán como resultado gráficos que se elevan (o disminuyen) más lejos del eje y ; y los coeficientes principales fuera de esta región, darán como resultado gráficos que suban (o bajen) cada vez más cerca del eje y .
Puntos de inflexión
Los puntos de inflexión en un gráfico son los puntos en los que un gráfico cambia de dirección. Esto podría significar que un gráfico que se curva hacia arriba, comienza a bajar o viceversa.
Esta es una lección básica para comprender las gráficas polinomiales, por lo que no voy a repasar exactamente cómo graficar funciones de alto grado. Sin embargo, le haré saber que una regla general es que un gráfico polinomial tendrá como máximo un giro menos que su grado de potencia. Esto significa que un polinomio de cuarto grado puede tener como máximo tres vueltas. Tenga en cuenta que puede tener menos, pero no más de tres.
Considere estas gráficas de función polinomial:
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¿Cuál de estas gráficas debería ser hecha por la función y = 4 x ^ 5 + 5 x ^ 2 – x – 1? Bueno, el grado de la función es 5, lo que significa que su gráfica no puede tener más de cuatro vueltas.
Los gráficos c. y d. son gráficos polinomiales de grados pares, por lo que no pueden ser correctos. Eso deja un. o b. Grafica a. tiene exactamente cuatro vueltas, mientras que el gráfico b. en realidad tiene seis (mirada de cerca a la sección justo a la izquierda de la Y eje x y verá los turnos extra).
Seis son demasiados turnos, por lo que la respuesta debe ser a. Grafica a. posiblemente podría ser la gráfica de la función de quinto grado. Para saberlo con certeza, necesitará obtener más lecciones sobre gráficos polinomiales.
Resumen de la lección
Comenzamos esta lección pensando en una pista de atletismo de fondo. Los gráficos polinomiales se asemejan a un recorrido serpenteante a través del campo con sus colinas, valles y curvas. En esta lección, aprendimos que:
- El grado de un polinomio es igual a su exponente más alto.
- Los polinomios de grado par comienzan y terminan en el mismo lado del eje x .
- Los polinomios de grado impar comienzan y terminan en lados opuestos del eje x .
- Una función de potencia es la forma más simple de una función que incluye un coeficiente principal , o f ( x ) = ax ^ n .
- Los coeficientes principales negativos invierten la gráfica.
- Los coeficientes principales grandes pellizcan el gráfico hacia el eje y , mientras que aquellos entre -1 y 1 estiran el gráfico alejándolo del eje y .
- Y, finalmente, un gráfico polinomial solo puede tener un máximo de n – 1 vueltas.
Entonces, tal vez la próxima vez que vaya a correr a campo traviesa, ¡pueda solicitar el mapa en forma de gráfico polinomial! Buena suerte.
Los resultados del aprendizaje
Después de esta lección, debería poder:
- Identificar el grado de un polinomio
- Describir polinomios de grado pares e impares.
- Explica qué es una función de potencia.
- Recuerde lo que los coeficientes principales negativos y los coeficientes principales grandes afectan al gráfico
- Resumir los puntos de inflexión de los gráficos polinomiales
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