Tipos de transformaciones
Hola y bienvenido a esta lección sobre transformaciones básicas de grafos polinomiales. Para empezar, probablemente sea una buena idea saber qué es un polinomio y cómo se ve un gráfico polinomial básico.
Bueno, polinomio es la abreviatura de función polinomial y se refiere a funciones algebraicas que pueden tener muchos términos. Normalmente se presenta con una notación f de x como esta: f ( x ) = x ^ 2.
f ( x ) = x ^ 2 es una función padre porque es una función de unidad estándar de esa forma. El gráfico parece una parábola suave con ambos extremos arriba del eje x y el gráfico pasa por los puntos (1,1) y (-1, 1).
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¿En qué piensas cuando piensas en la palabra ‘transformación’? Normalmente pienso en algo que cambia. Tal vez el color rojo, transformándose o cambiando al color naranja cuando se agrega amarillo. ¿O quién podría olvidar el auto clásico en una transformación de robot? Cualquier tipo de cambio de una cosa o mirada a otra puede considerarse transformación.
Esta lección se centra en las transformaciones de gráficos polinomiales , que son, en pocas palabras, cambios en los gráficos de funciones polinomiales. Para una discusión mucho más profunda de los gráficos polinomiales, consulte la lección sobre la comprensión de los gráficos polinomiales.
Entonces, volviendo a la imagen del gráfico padre básico de f ( x ) = x ^ 2, ¿qué tipos de transformaciones podría atravesar este gráfico? Podría moverse hacia arriba y hacia abajo, izquierda y derecha; podría pellizcarse o estirarse, o incluso podría voltearse. Veamos cómo lograr cada uno de estos tipos de transformaciones por separado, luego concluiremos con unirlos para una gran transformación.
Transformación hacia arriba y hacia abajo
Las transformaciones hacia arriba y hacia abajo para funciones son causadas por la suma o resta de un número fuera de la función original. Por lo tanto, f ( x ) + 2 movería la gráfica 2 lugares hacia arriba. En nuestro ejemplo, estamos usando la función padre de f ( x ) = x ^ 2, por lo que para mover esto hacia arriba, graficaríamos f ( x ) = x ^ 2 + 2.
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Mover un gráfico hacia abajo es el mismo principio, excepto que restamos. f ( x ) = x ^ 2 – 2 mueve el gráfico principal hacia abajo dos lugares. Observe cómo el punto de inflexión en el gráfico está en -2 en el gráfico transformado en lugar de cero como en el gráfico principal.
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Entonces, el movimiento hacia arriba y hacia abajo requiere sumas o restas (respectivamente) fuera de la función. Esta es la transformación más fácil porque tiene sentido lógico: cuando agrega, aumenta (o sube); cuando restas, disminuyes (o bajas).
Transformación izquierda y derecha
Para movernos hacia la izquierda y hacia la derecha, tenemos que sumar o restar dentro de la función así: f ( x + 2) = ( x + 2) ^ 2. Moverse hacia arriba y hacia abajo era lógico. Moverse hacia la izquierda y hacia la derecha en realidad hace lo contrario de lo que sería lógico. Si agrega 2 a la función, en realidad mueve el gráfico hacia atrás, a la izquierda 2 lugares.
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Pensando matemáticamente, la lógica sigue ahí, solo al revés. Recuerde, para graficar a mano, siempre estamos buscando qué es igual a y cuando x es un valor determinado. Normalmente, tratamos de averiguar qué x necesitamos para hacer y = 0. Si tu función es f ( x ) = ( x + 2) ^ 2, en realidad es bastante fácil ver que necesitamos x = -2 para y para ser 0. Entonces, x = -2 claramente movería la gráfica hacia la izquierda. Entonces, aunque al principio parece ilógico que agregar dentro de la función se mueva hacia la izquierda, cuando miras más de cerca, es claramente correcto.
Lo contrario también es cierto. f ( x – 2) = ( x – 2) ^ 2 significa que necesitamos que x sea positivo 2 para que y sea 0. Esto moverá la gráfica hacia la derecha (en la dirección positiva para el eje x ).
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Cuando se mueve hacia la izquierda y hacia la derecha, la suma o resta se realiza dentro de la función, y el movimiento es de lógica inversa (la suma se mueve a la izquierda, la resta se mueve a la derecha).
Pellizcar y estirar
Ahora pasamos a multiplicar la función. Estas transformaciones dependen de si el multiplicador es mayor o menor que 1: los multiplicadores menores que 1 estiran el gráfico, mientras que los multiplicadores mayores que 1 pellizcan el gráfico. Tiene sentido lógico que multiplicar una función por una fracción (menor que 1) estiraría la gráfica porque cada resultado del valor de y es solo una fracción del valor de x elegido .
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De manera similar, dado que multiplicar por un número entero mayor que 1 aumentaría el resultado de y en cualquier función, es fácil ver que esto reduciría la gráfica de la función principal (el valor de y aumenta más rápido que el de x debido al multiplicador) . Multiplicar por un número menor que 1 estira el gráfico, al igual que un número mayor que 1 aprieta el gráfico.
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Voltear el gráfico
La última forma de transformación es un giro. Cuando voltea un gráfico, básicamente está mostrando la forma opuesta de ese gráfico. ¿Qué es lo opuesto en álgebra? ¡Eso es, negativo! Entonces, lo único que debe hacer para voltear una gráfica es hacerla negativa.
Nuestro ejemplo de función padre es f ( x ) = x ^ 2, por lo que la versión opuesta (o negativa) de eso es f ( x ) = – x ^ 2 y aquí está la transformación:
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Para invertir la gráfica, todo lo que tienes que hacer es hacer que la función sea negativa.
Transformación de ejemplo
Entonces, ¿qué pasa si incorporamos todas estas transformaciones en un solo gráfico? ¿Cómo sería la gráfica de f ( x ) = -3 ( x + 2) ^ 2 – 2? Bueno, primero revisemos la función:
- Tenemos un -2 fuera de la función, así que bajaremos dos lugares.
- Existe la adición de 2 dentro de la función, por lo que el gráfico se moverá dos lugares a la izquierda.
- Hay un multiplicador de números enteros de 3, por lo que el gráfico se reducirá.
- Es negativo, por lo que todo el gráfico se invertirá.
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Y ahí lo tienes, el gráfico se transforma exactamente como lo predijimos. No olvide que estas reglas funcionan para todas las funciones polinomiales, no solo para f ( x ) = x ^ 2.
Resumen de la lección
En esta lección, cubrimos los cuatro tipos de transformaciones de una gráfica polinomial. La función principal más básica se utilizó para ilustrar las transformaciones. Como reseña:
- Las transformaciones hacia arriba y hacia abajo ocurren al sumar o restar fuera de la función.
- Las transformaciones de izquierda y derecha ocurren al sumar o restar dentro de la función.
- La gráfica se pellizca cuando se multiplica por números mayores que 1 y se estira cuando se multiplica por números menores que 1.
- Para invertir la gráfica, haz que la función sea negativa.
Aprender estas cuatro transformaciones lo ayudará a analizar cualquier gráfico polinomial que vea. Gracias por acompañarme.
Los resultados del aprendizaje
Durante esta lección, puede desarrollar la capacidad de:
- Definir polinomio y función padre
- Cree cuatro transformaciones: arriba / abajo, izquierda / derecha, pellizcar / estirar y voltear
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