Cómo graficar logaritmos: transformaciones y efectos en el dominio / rango

¿Qué es un logaritmo?

La fórmula básica para un logaritmo (log) es y = log 2 x es equivalente a 2 y = x, lo que significa que la solución de una ecuación logarítmica es la potencia a la que debes elevar un cierto número para obtener otro número. La función de logaritmo es la inversa de un exponencial , que es un término que tiene una variable en su exponente. Por ejemplo, 2 ^ x es exponencial.

Es lógico, entonces, que la gráfica de un logaritmo sea la inversa de la gráfica de un exponencial. Y puede ver en esta imagen a continuación que eso es correcto. La gráfica del logaritmo es solo la gráfica del exponencial invertido a lo largo de una línea recta.

Gráfica de logaritmo y exponencial

Cómo graficar un logaritmo

Hay dos métodos que puede utilizar para graficar un logaritmo.

La primera es sustituir en números una variable para obtener valores de la otra, luego trazarlos en un gráfico y conectar los puntos. Cuando utilice este método, recuerde que el registro no está definido en cero y es menor que cero, por lo que x solo puede ser mayor que cero.

Grafiquemos lo siguiente como ejemplo: log 2 x = y

El primer paso es dibujar un gráfico y luego completar los valores de x e y .

Puede elegir cualquier valor para y que desee, pero más pequeño suele ser mejor. De esta manera, su gráfico no es enorme. Puede obtener la idea general del gráfico a partir de 5 puntos aproximadamente.

Luego, cuando tenga sus puntos, simplemente grábelos en el gráfico y conecte los puntos. Recuerde, con la gráfica de un logaritmo general, nunca tocará ni cruzará el eje y, sino que se acercará lo más posible.

Grafica usando el primer método

El segundo método para graficar un logaritmo es usar una calculadora gráfica. Lea las instrucciones que vinieron con su calculadora para graficar logaritmos usando este método.

El dominio y rango de logaritmos

El dominio de cualquier ecuación son los posibles valores de x para esa ecuación. Es cualquier número que posiblemente podría ser x cuando esa ecuación se grafica en un plano de coordenadas. Para la ecuación logarítmica general, el dominio es x > 0 porque x no puede ser cero o menor.

La gama , o posibles Y valores para cualquier ecuación, es cualquier número que Y podría ser cuando la ecuación se representa gráficamente en el plano de coordenadas. Para la ecuación de logaritmo general, el rango es y = todos los números reales.

Graficar transformaciones de la ecuación logarítmica

Hasta ahora, solo hemos hablado de la ecuación de logaritmo general y su gráfica, pero ¿y si la ecuación es más compleja, como y = log 2 x + 2

Sumar o restar a la ecuación hace que la gráfica se desplace, ya sea hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, dependiendo de cómo se enmarque la suma o la resta. Graficar ecuaciones logarítmicas que se han cambiado se puede hacer muy fácilmente si recuerda el conjunto de reglas que rigen estos cambios.

Reglas para graficar transformaciones:

1. La primera regla dice que agregar un número a la ecuación hará que la gráfica se mueva hacia arriba el número de espacios indicados por ese número. El ejemplo mostrado anteriormente tiene un +2 agregado a la ecuación, lo que significa que el gráfico se desplazará dos espacios hacia arriba del gráfico general.

Este gráfico está desplazado hacia arriba.

Como puede ver arriba, el gráfico se ha desplazado hacia arriba dos espacios.

2. La segunda regla establece que restar un número de la ecuación hará que la gráfica baje ese número de espacios. Mire este ejemplo: y = log 2 x – 2

Debido al -2 en la ecuación, la gráfica se desplazará dos espacios hacia abajo.

Este gráfico se desplaza hacia abajo.

3. La tercera regla dice que agregar un número dentro del argumento logarítmico hará que la gráfica se desplace a la izquierda. Esta vez, el número que se agrega estará entre paréntesis con la x , lo que indica que es parte de la función logarítmica y no solo un número que se agregará al final de la ecuación.

y = log 2 ( x + 3)

La (x + 3) entre paréntesis en esta ecuación hace que la gráfica se desplace tres espacios hacia la izquierda.

Este gráfico se desplaza a la izquierda.

4. La cuarta regla dice que restar un número dentro del argumento logarítmico hará que la gráfica se desplace a la derecha.

y = log 2 ( x – 3)

La (x – 3) entre paréntesis hará que la gráfica se desplace tres espacios a la derecha.

Este gráfico se desplaza a la derecha.

También puede tener un gráfico que se traduce en dos direcciones. Echale un vistazo a éste ejemplo:

y = log 2 ( x + 2) – 4

La gráfica de esta ecuación se desplazará hacia la izquierda dos espacios y hacia abajo cuatro espacios.

Este gráfico se desplaza hacia la izquierda y hacia abajo.

El efecto de las transformaciones en el dominio y el rango

Anteriormente discutimos el dominio y rango de funciones logarítmicas y definimos el dominio como los posibles valores de x y el rango como los posibles valores de y de una función. Cuando la gráfica básica se transforma de cierta manera, cambiará los valores para el dominio y rango de esa función.

Si la gráfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo, el dominio seguirá siendo x > 0 y el rango permanecerá y = todos los números reales. Si el gráfico se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha, el rango nuevamente no cambiará, pero el dominio cambiará junto con el gráfico. Esto se debe a que estamos moviendo la gráfica en la dirección x , por lo que la línea límite cambiará. Si la ecuación es y = log 2 ( x + 2), entonces x puede ser menor que cero, simplemente no puede ser menor o igual a -2.

Si x = -2, obtenemos y = log 2 (-2 + 2) que es igual a y = log 2 (0) que no está definido.

Todo eso para decir que para la ecuación y = log 2 ( x + 2), el dominio es x > -2.

La misma regla se aplica si el gráfico se desplaza hacia la derecha. Si la ecuación es y = log ( x – 3), entonces el dominio son todos los números mayores que 3, o x > 3, para mantener el número evaluado como un número positivo.

Resumen de la lección

Al sumar o restar números de la ecuación o el argumento del logaritmo, desplazará la gráfica del logaritmo hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Es fácil de hacer si recuerda las reglas de la transformación. Si la transformación es hacia la izquierda o hacia la derecha, afectará el dominio del gráfico pero no el rango. Los cambios hacia arriba o hacia abajo no afectarán el dominio o el rango del gráfico.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, debería poder:

• Defina el logaritmo y compare su gráfico con el gráfico de un exponencial
• Explica cómo graficar una ecuación logarítmica.
• Enumere las reglas de transformación
• Identificar cómo las transformaciones afectan el dominio y rango de la gráfica.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador