Trayectoria: definición y ecuación

Cohetes en vuelo

No hay nada, en mi mente, como una buena exhibición de fuegos artificiales. Durante siglos, la gente ha lanzado cohetes al aire con el expreso propósito de hacerlos volar de manera espectacular. La última vez que vi un espectáculo de fuegos artificiales, noté que el momento de las explosiones parecía dividirse en tres categorías: 1) las que explotaron cuando el cohete estaba subiendo; 2) los que explotaron en la parte superior de la trayectoria del cohete; y 3) los que explotaron cuando el cohete descendía. También noté que no todos los cohetes se dispararon hacia arriba; algunos fueron disparados en ángulo en una dirección u otra.

Exhibición de fuegos artificiales por la noche

Leí un poco sobre cómo se construyen los fuegos artificiales y descubrí que además de la mecha de combustión rápida que se usa para lanzar el cohete desde el suelo, hay otra mecha de combustión lenta dentro del cohete que está programada para crear la explosión en tan solo el momento adecuado durante el vuelo. ¿Cómo saben las personas que construyen estos cohetes cuál es el momento adecuado? Suponga que quieren que explote exactamente en la parte superior de la trayectoria. Además, supongamos que quieren apuntar el lanzador en un ángulo tal que la explosión ocurra no solo en la parte superior de la trayectoria sino también a cierta distancia del lanzador.

Mira el siguiente diagrama. Se lanza un cohete desde el suelo a una altura de 250 pies en aproximadamente 5 segundos. Digamos que queremos que el cohete explote exactamente en la parte superior de la trayectoria. Si el cohete explota a los 3-4 segundos, será demasiado pronto. Pero 6-7 segundos sería demasiado tarde. Además, este cohete se lanza en un ángulo predeterminado desde el suelo de modo que viajará hacia abajo a una distancia predecible durante esos 5 segundos. Si el ángulo es demasiado cercano a la vertical, la gente de fuegos artificiales no obtendrá el efecto deseado. Si el ángulo está demasiado cerca de la horizontal, entonces el cohete viajará demasiado hacia abajo. ¿Cómo saben qué ángulo usar?

Diagrama de la sincronización ideal del cohete

Afortunadamente para los fabricantes de fuegos artificiales, la física detrás del cálculo de una trayectoria se comprende muy bien. De hecho, son estos cálculos los que se utilizan en todo tipo de aplicaciones interesantes, como balística, planificación de lanzamientos de misiles, golpeo de pelotas de béisbol y diseño de palos de golf.

¿Qué es una trayectoria?

Una trayectoria no es más que el camino que sigue un objeto mientras se mueve por el espacio. Para esta lección, nos concentraremos en una trayectoria balística , que es la trayectoria que sigue un objeto a través del espacio después de ser lanzado inicialmente, con su trayectoria dictada solo por las leyes del movimiento, la gravedad y posiblemente la resistencia del aire.

Cómo calcular una trayectoria balística

La forma más sencilla de realizar cálculos de trayectoria balística es separar el movimiento del objeto en dos partes independientes, el movimiento puramente horizontal y el movimiento puramente vertical. Resulta que estos dos movimientos se pueden calcular de forma independiente y luego los resultados se vuelven a combinar de manera significativa. Para todos estos cálculos, asumiremos que el objeto se lanza desde el suelo y que eventualmente volverá a golpear el suelo a la misma altura.

Veamos primero la dirección horizontal. Suponiendo que no hay resistencia del aire ni gravedad, un objeto lanzado horizontalmente con una cierta velocidad continuará moviéndose en la misma dirección, a la misma velocidad, para siempre. Si asumimos que la resistencia del aire es insignificante (cercana a cero), esto nos proporciona la ecuación que necesitamos para el componente de trayectoria horizontal. Es muy simple: la distancia es igual a la velocidad horizontal multiplicada por el tiempo. El problema es que el objeto no suele lanzarse en una dirección puramente horizontal. El lanzador tendrá cierto ángulo con respecto a la horizontal. Necesitamos saber cuál es ese ángulo para poder averiguar qué proporción de la velocidad de lanzamiento real está en la dirección horizontal. Mira el diagrama.

Diagrama de componentes de trayectoria horizontal y vertical

La trigonometría es muy útil en esta situación. La componente horizontal se define utilizando el coseno del ángulo que se muestra en el diagrama. Entonces, si el objeto se lanza con una cierta velocidad inicial, Vo, resultan dos ecuaciones simples.

Ahora abordemos el componente vertical. Nuevamente, asumiremos una resistencia del aire cero, pero ahora tenemos que lidiar con la gravedad. La gravedad provoca una fuerza de aceleración constante hacia abajo sobre el objeto que tenemos que considerar a lo largo de su vuelo. Si estamos cerca de la superficie de la Tierra, ese valor de aceleración es de aproximadamente 32 pies por segundo al cuadrado. La conclusión es que la velocidad vertical del objeto no es constante en absoluto. Comienza como el componente vertical de la velocidad inicial, disminuye hasta que el objeto alcanza la altura máxima, llega a cero por un momento y luego comienza a aumentar en la dirección opuesta a medida que el objeto cae libremente. La componente vertical se define utilizando el seno del ángulo.

Hay varias ecuaciones conocidas para el movimiento vertical que resultan de este análisis.

Hay otras dos ecuaciones útiles que se encuentran combinando algunas de las ecuaciones anteriores con las ecuaciones de movimiento horizontal.

Ejemplos de trayectoria

Para el cohete de fuegos artificiales, supongamos que el lanzador apunta a un ángulo de 60 grados desde la horizontal. Supongamos también que el propulsor del cohete agota toda su energía en el lanzamiento y le da al cohete una velocidad inicial de 100 pies / seg. ¿Cuándo llegará el cohete a la cima de su trayectoria? ¿Qué tan alto será en ese punto? ¿A qué distancia descenderá el cohete en dirección horizontal cuando alcance la altura máxima? Si el cohete no explotó, ¿cuándo golpearía el suelo? Suponga que no hay resistencia del aire para todos estos cálculos.

¿Notaste que el tiempo total de vuelo y la distancia total recorrida (si el cohete no explotó) son solo el doble de los valores de tiempo y distancia a la altura máxima?

El golf ofrece otro ejemplo muy interesante. Suponga que está en la calle y a 150 yardas del hoyo. Suponga que el hoyo está en la misma elevación que la bola en la calle. Decide golpear la bola con un hierro 7 y quiere que golpee el suelo a 10 yardas del hoyo. ¿Cuál deberá ser la velocidad inicial de la pelota para lograr su objetivo? Imaginemos el problema.

Diagrama para el ejemplo de trayectoria de una pelota de golf

El ángulo de loft es una medida del ángulo inicial que tendrá la pelota con el suelo. Para un hierro 7, este ángulo de inclinación es de aproximadamente 34 °. Comencemos con la distancia horizontal total recorrida.

Hmmm. Necesitamos saber Vo, por lo que tendremos que resolver esta ecuación para Vo dada la información que ya tenemos (recuerde multiplicar 140 yardas por 3 para obtener pies).

Resumen de la lección

Una trayectoria es la trayectoria que sigue un objeto a medida que se mueve por el espacio, mientras que una trayectoria balística es una trayectoria que depende de una velocidad inicial pero que luego está influenciada solo por la gravedad y la resistencia del aire. No se agregan otras fuerzas artificiales una vez que se lanza el objeto. Las trayectorias balísticas definen el movimiento de cohetes, misiles, pelotas de béisbol, pelotas de golf, etc. Suponiendo que la trayectoria comienza y termina en la misma elevación, y que no hay resistencia del aire, se puede calcular más fácilmente considerando el movimiento horizontal y vertical de el objeto como dos problemas separados y aplicando las fórmulas apropiadas.

Descripción general de la trayectoria

Los resultados del aprendizaje

Cuando terminemos esta lección, deberíamos poder:

• Definir trayectoria
• Explica qué es la trayectoria balística
• Describir cómo calcular la trayectoria balística de un objeto.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador