Distribución normal estándar: definición y ejemplo

Definición de distribución normal estándar

Grandes noticias: tus calificaciones de medio término están en. Obtuviste un 84 en Cálculo, un 93 en español y un 79 en Física AP. Noticias en mano, corres escaleras abajo para compartir tus calificaciones. Llega el momento de que dejes escapar tus resultados y, de repente, un aluvión de preguntas comienza a correr por tu cabeza: ¿qué puntuación compartiré primero? ¿De cuál estoy más orgulloso?

Seguramente el 93 es mejor… ¿verdad? 93> 84> 79, matemáticas simples. Pero, la prueba de español fue más fácil. Además, tu amiga te acaba de enviar un mensaje de texto diciendo que obtuvo un 61 en Cálculo. AP Physics lo ha desafiado todo el año, y su última calificación en la prueba fue de 50, por lo que el 79 fue una mejora importante. ¿Cómo decidirá qué puntuación fue su mayor triunfo?

Lo que necesita es una forma de poner estos puntajes en la misma escala. La solución a todos sus problemas se encuentra dentro de la Distribución Normal Estándar , una distribución que asigna puntajes basados ​​en el desempeño relativo al desempeño de otros en la misma población.

Estandarización explicada

Con el fin de hacer las comparaciones adecuadas en el ejemplo anterior, supongamos (quizás un poco irracional) que todos los puntajes de los exámenes parciales se distribuyeron normalmente. Sin embargo, hay infinitas distribuciones normales en el mundo, cada una centrada en su propio promedio, con su propia desviación estándar. Por ejemplo, los exámenes parciales de Cálculo tuvieron un promedio de 73 con una desviación estándar de 8, los exámenes parciales de español tuvieron un promedio de 87 con una desviación estándar de 6, y los exámenes parciales de Física tuvieron un promedio de 70, con una desviación estándar de 15. Recuerde que el estándar la desviación es una medida de propagación; es una distancia promedio de puntos de datos de la media.

Por lo tanto, comparar entre distribuciones es similar a comparar manzanas con naranjas. Para tomar una decisión informada, convertiremos todos los puntajes en la misma escala. Vamos a estandarizar las puntuaciones, convirtiéndolos a la distribución normal estándar, con un solo medio y una sola desviación estándar.

La distribución normal estándar: propiedades

La distribución normal estándar, comúnmente conocida como distribución Z, es un caso especial de una distribución normal con las siguientes propiedades:

• Tiene una media de cero.
• Tiene una desviación estándar de uno.
• Las áreas bajo la curva de densidad se pueden encontrar usando una tabla normal estándar

Una puntuación en la distribución normal estándar se llama Z-Score . Debe interpretarse como el número de desviaciones estándar que un punto de datos está por encima o por debajo de la media. Un puntaje Z positivo indica que un punto está por encima del promedio y un puntaje Z negativo indica un puntaje por debajo del promedio.

La distribución normal estándar sigue la regla empírica ( regla 68-95-99.7), que indica que el 68% de los datos cae dentro de una desviación estándar de la media, el 95% dentro de dos desviaciones estándar y el 99.7% de los datos cae dentro de tres desviaciones estándar de la media.

La regla empírica para distribuciones normales

Puntuaciones Z

Un puntaje Z, también conocido como puntaje estandarizado, es el resultado de convertir una de las infinitas distribuciones normales a la distribución normal estándar. Los puntajes Z nos permiten hacer comparaciones y calcular probabilidades fácilmente cuando trabajamos con distribuciones normales. Para realizar la conversión, o estandarizar, se utiliza la siguiente fórmula:

Z = (Puntaje bruto – Promedio) / Desviación estándar

La puntuación bruta es el punto de interés, y el promedio y la desviación estándar se refieren a los valores de su distribución normal original.

Veamos nuestro ejemplo del comienzo de la lección y averigüemos qué puntuación debe compartir primero estandarizando todas sus puntuaciones y convirtiéndolas en Z-Scores en la distribución normal estándar. Una vez que estén todos en la misma escala, con un promedio de 0 y una desviación estándar de 1, podemos determinar cuál es el más impresionante. El trabajo para realizar esta tarea se muestra a continuación:

Cálculo: Z = (84 – 73) / 8 = 1,38

Español: Z = (93 – 87) / 6 = 1.00

AP Phys: Z = (79 – 70) / 15 = 0.60

Conversión a la distribución normal estándar

(Nota: las puntuaciones Z generalmente se redondean a dos puntos decimales).

Examinemos los resultados. Su 84 en cálculo equivale a una puntuación Z de 1,38 en la distribución normal estándar. Tu 93 en español equivale a 1,00 y, por último, tu 79 en Física AP da una puntuación Z de 0,60. Para reiterar, esto significa que obtuvo 1.38 desviaciones estándar por encima de la media en cálculo, 1 desviación estándar por encima de la media en español y 0.60 desviaciones estándar por encima de la media en Física AP. Ahora no hay debate; su puntaje en Cálculo es el más impresionante en relación con el desempeño de otros en la misma prueba, ¡comparta eso primero!

Resumen de la lección:

La distribución normal estándar nos permite hacer comparaciones entre las infinitas distribuciones normales que existen en el mundo. Una puntuación en la distribución normal estándar se denomina Z-Score y se interpreta como el número de desviaciones estándar que un punto de datos cae por encima o por debajo de la media. La distribución normal estándar tiene las propiedades específicas de tener un promedio de cero y una desviación estándar de uno y evalúa los rendimientos en relación con otros en la misma población.

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Rodrigo Ricardo Editor y fundador