Sistema de ecuaciones 2×2
Antes de pasar a las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones 2×2, repasemos rápidamente el vocabulario. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables. Por ejemplo, el siguiente es un sistema de ecuaciones.
2 x – 5 y = 15
3 x + y = 31
En este ejemplo en particular, hay dos ecuaciones y dos variables, por lo tanto, lo llamamos un sistema de ecuaciones de 2×2.
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En general, un sistema de ecuaciones n x n tiene n ecuaciones y n variables.
Una solución a un sistema de ecuaciones consta de valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas, y el conjunto de todas las soluciones de un sistema se llama el conjunto de soluciones del sistema. Considere nuestro ejemplo anterior. Si introducimos x = 10 e y = 1 en cada una de las ecuaciones, ambas ecuaciones son verdaderas.
2 (10) – 5 (1) = 15
3 (10) + 1 = 31
Por lo tanto, x = 10 e y = 1 es una solución del sistema. También podemos representar esta solución como el par ordenado (10,1).
Aplicaciones resueltas usando un sistema de ecuaciones de 2×2
Como hemos visto, un sistema de ecuaciones de 2×2 tiene dos variables, por lo que hay dos incógnitas. Dado que hay dos incógnitas, estos sistemas son útiles cuando tenemos un problema en el que necesitamos encontrar dos valores diferentes. Cuando tenemos dos incógnitas y suficiente información en un problema para establecer dos ecuaciones en esas incógnitas, podemos usar un sistema de ecuaciones de 2×2 para resolver el problema.
Por ejemplo, suponga que está trabajando en una tienda de alimentos naturales y necesita mezclar almendras por un valor de $ 5 / lb. con anacardos por valor de $ 9 / lb. para hacer 10 libras. de una mezcla por valor de $ 7 / lb. Note que hay dos incógnitas en esta situación. Una es la cantidad de libras de almendras que se deben agregar a la mezcla y la otra es la cantidad de libras de anacardos que se deben agregar a la mezcla. Representemos estas incógnitas con variables.
a = número de libras de almendras
c = número de libras de anacardos
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Sabemos que tenemos 10 libras. en la mezcla todos juntos, entonces a + c = 10. También sabemos que cada libra de almendras cuesta $ 5, por lo que el costo total de las almendras en la mezcla es 5 a . De manera similar, el costo total de anacardos en la mezcla es de 9 c . Dado que hay 10 libras. de mezcla, y cuesta $ 7 por libra, la mezcla completa cuesta $ 70. Podemos unir estos tres hechos para obtener la ecuación 5 a + 9 c = 70. Ahora tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas. En otras palabras, tenemos un sistema de ecuaciones de 2×2.
a + c = 10
5 a + 9 c = 70
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Hay muchas formas de resolver un sistema 2×2, y cada una de ellas requeriría una lección completa para explicar. Por lo tanto, en esta lección, solo nos concentraremos en las aplicaciones y sus soluciones. En este ejemplo de nuez, la solución al sistema que configuramos es a = 5 y c = 5. Si introducimos estos valores en nuestro sistema, ambas ecuaciones son verdaderas.
5 + 5 = 10
5 (5) + 9 (5) = 70
Por lo tanto, para hacer la mezcla deseada, necesitamos agregar 5 lbs. de las almendras y 5 libras. de los anacardos.
Otro ejemplo de aplicación
¿Alguna vez has visto uno de esos concursos preguntando cuántos caramelos hay en un frasco? Imagina que te encuentras con un concurso que te hace adivinar la cantidad de caramelos rojos y el número de caramelos verdes en un frasco. Se le dan los siguientes hechos.
- La cantidad de caramelos rojos es ocho más del doble de la cantidad de caramelos verdes.
- Hay 419 caramelos en total en el frasco.
¿Adivina qué? ¡Esta es toda la información que necesitas para encontrar el número exacto de cada uno de los colores de los caramelos! ¡Definitivamente vas a ganar este concurso!
Dejemos que r = el número de caramelos rojos en el frasco yg = el número de caramelos verdes en el frasco. Sabemos que hay 419 caramelos en total, por lo que debe ser el caso de que r + g = 419. Ahora, consideremos la otra declaración. Podemos traducir esto en una ecuación. El número de caramelos rojos, r , es igual a 8 más que el doble del número de caramelos verdes, o sea 8 + 2 g . Esto nos da r = 8 + 2 g . Ahora tenemos un sistema de ecuaciones de 2×2.
r + g = 419
r = 8 + 2 g
Podemos resolver este sistema para encontrar que cuando r = 282 y g = 137, ambas ecuaciones son verdaderas.
282 + 137 = 419
282 = 8 + 2 (137)
Por lo tanto, hay 282 gominolas rojas y 137 gominolas verdes en el frasco. ¡Acabas de ganar el concurso!
Resumen de la lección
Un sistema de ecuaciones es un grupo de dos o más ecuaciones con las mismas variables. Cuando un sistema tiene dos ecuaciones y dos variables, es un sistema de ecuaciones de 2×2. Una solución a un sistema de ecuaciones consta de valores de las variables en el sistema que hace que cada una de las ecuaciones sea verdadera. Podemos aplicar un sistema de ecuaciones de 2×2 para resolver un problema cuando hay dos incógnitas y hay suficiente información para hacer dos ecuaciones en esas dos incógnitas. Estos sistemas son extremadamente útiles en matemáticas y en la vida cotidiana.
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