Aceleración Angular: Definición, fórmula y ejemplos

¿Qué es la aceleración angular?

Para entender qué es la aceleración angular, es necesario entender la aceleración lineal que se deriva de la velocidad lineal. En física, la velocidad es una cantidad vectorial que describe la velocidad con la que se mueve un objeto y la dirección en la que se mueve. Matemáticamente, la velocidad se describe como un cambio de posición durante un período de tiempo determinado, {eq}v = \frac{ x}{t} {/eq} donde v representa la velocidad, x representa la posición y t representa el tiempo. Otra forma de pensar en la velocidad es como la primera derivada de la posición en el tiempo, {eq}v = \frac{dx}{dt} {/eq} donde dx es el cambio en la posición de un objeto y dt es un cambio en el tiempo. La aceleración se deriva directamente de esto, y es otra cantidad vectorial que se refiere a qué tan rápido cambia una velocidad. Matemáticamente, la aceleración se puede modelar como la segunda derivada de la posición en el tiempo, {eq}a = \frac{d^2x}{dt^2} {/eq} donde a representa la aceleración y, mediante las ecuaciones cinemáticas, es posible Relacionar la posición, el tiempo, la velocidad y la aceleración para describir el movimiento de un objeto.

Las ecuaciones cinemáticas tradicionales son lineales y se utilizan para describir objetos que se mueven, más o menos, en línea recta. Para el movimiento angular que se mueve en un círculo, como una peonza o el pomo de una puerta, las ecuaciones cinemáticas lineales se pueden reescribir usando variables angulares y usarse para describir el movimiento de rotación. Al igual que con el movimiento lineal, existen versiones angulares de velocidad y aceleración. La velocidad angular describe cuántas rotaciones realiza un objeto en un tiempo determinado y se define con la letra omega, {eq}\omega {/eq}; consulte la Figura 1. Oficialmente, {eq}\omega = \frac{d \theta}{dt} {/eq} donde {eq}d \theta {/eq} describe el cambio en el ángulo a través del cual gira un objeto, y Es posible cambiar de velocidad lineal a angular usando la conversión {eq}\omega = \frac{v}{r} {/eq} donde r es el radio de rotación. Así como la aceleración lineal se deriva de la velocidad lineal, la aceleración angular se deriva de la velocidad angular y describe qué tan rápido cambia la velocidad angular del sistema; consulte la Figura 2. La aceleración angular se representa con la letra alfa, {eq}\alpha {/eq}, y se define formalmente como {eq}\alpha = \frac{d \omega}{dt} {/eq}.

Aceleración angular constante

Para utilizar las ecuaciones cinemáticas mencionadas anteriormente, es importante que la aceleración del sistema en estudio permanezca constante. Para un sistema giratorio, esto significa que la velocidad angular debe cambiar en la misma cantidad por segundo durante todo el movimiento. La Figura 3 detalla las cuatro ecuaciones cinemáticas angulares. Observe que hay subíndices en la velocidad angular, {eq}\omega {/eq}, para indicar la velocidad inicial, {eq}i {/eq}, y final, {eq}f {/eq}. Estos subíndices implican que la velocidad angular del sistema cambiará. Observe también en la Figura 3 que no hay subíndices en el símbolo de aceleración angular, {eq}\alpha {/eq}. Esto se debe a que debe haber una aceleración angular constante para utilizar las ecuaciones cinemáticas. Para las ecuaciones cinemáticas angulares dadas en la Figura 3, {eq}\Delta \theta {/eq} es el equivalente angular al desplazamiento lineal, y es posible expandir {eq}\Delta \theta {/eq} a {eq} \theta_f – \theta_i {/eq} donde los subíndices indican los ángulos inicial y final del sistema. La interpretación física del desplazamiento angular se muestra en la Figura 4. Como siempre, la variable t representa el tiempo, y cuando se intenta calcular la aceleración angular de un sistema, es posible reorganizar todas las ecuaciones cinemáticas angulares en la Figura 3 excepto la uno escrito en naranja para resolver la aceleración angular. Cuando se reorganizan para resolver la aceleración angular, las ecuaciones cinemáticas angulares pueden denominarse fórmulas de aceleración rotacional.

Practique el uso de fórmulas de aceleración angular

Utilice la fórmula de aceleración angular y las ecuaciones cinemáticas angulares dadas en la sección anterior para resolver los siguientes ejemplos. Al escribir una respuesta final, tenga en cuenta que las unidades de aceleración angular se dan en radianes por segundo por segundo, que se abrevia como {eq}rad/s^2 {/eq}.

Ejemplo 1: Dos niños se suben a una noria. La noria tarda 35 segundos en llegar a la cima, donde tiene una velocidad angular de 19 rad/s. ¿Cuál es la aceleración angular de los niños?

1) Definir las variables conocidas.

{eq}- {/eq} aunque no se indique explícitamente, {eq}\omega_i = 0 {/eq} rad/s

{eq}- {/eq} {eq}\omega_f = 19 {/eq} rad/s

{eq}- {/eq} t = 35 s

2) Observando las variables dadas, la ecuación {eq}\omega_f = \omega_i + \alpha t {/eq} es la ecuación correcta a usar.

3) Resuelva {eq}\omega_f = \omega_i + \alpha t {/eq} para la aceleración.

{eq}\omega_f = \omega_i + \alpha t \rightarrow \alpha = \frac{\omega_f -\omega_i}{t} {/eq}

4) Introduzca las variables de 1) en el resultado de 3).

{eq}\alpha = \frac{\omega_f -\omega_i}{t} \rightarrow \alpha = \frac{19 – 0}{35} {/eq} {eq}rad/s^2 {/eq}

5) Evaluar 4).

{eq}\alpha = \frac{19 – 0}{35} = 0,54 {/eq} {eq}rad/s^2 {/eq}

En la cima, los niños viajan a 0,54 {eq}rad/s^2 {/eq}.

Ejemplo 2: Un patinador sobre hielo gira durante 10 segundos. Cuando se detienen, miran en la dirección opuesta a la que comenzaron. ¿Cuál es la aceleración angular del patinador?

1) Definir las variables conocidas.

{eq}- {/eq} t = 10 s

{eq}- {/eq} Aunque no es explícito, se puede suponer que el patinador parte del reposo, por lo que {eq}\omega_i = 0 {/eq} rad/s.

{eq}- {/eq} Si el patinador deja de mirar en dirección opuesta a donde empezó ha girado {eq}180^{\circ} {/eq}. Esto se debe convertir a radianes, por lo que {eq}\Delta \theta = \pi {/eq} rad

2) Observando todas las ecuaciones cinemáticas angulares, cada variable de {eq}\Delta \theta = \omega_i t + \frac{1}{2} \alpha t^2 {/eq} está dada excepto la aceleración que se está resolviendo.

3) Resuelva 2) para la aceleración angular.

{eq}\Delta \theta = \omega_i t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \rightarrow \alpha = \frac{2(\Delta \theta – \omega_i t)}{t^2} {/eq}

4) Inserte las variables de 1) en el resultado de 3).

{eq}\alpha = \frac{2(\Delta \theta – \omega_i t)}{t^2} \rightarrow \alpha = \frac{2(\pi – 0* 10)}{10^2} {/eq} {eq}rad/s^2 {/eq}

5) Simplifique y evalúe el resultado de 4).

{eq}\alpha = \frac{2(\pi – 0* 10)}{10^2} \rightarrow \alpha = \frac{2\pi}{100} = \frac{\pi}{50} {/eq} {eq}rad/s^2 {/eq}

El patinador tiene una aceleración de {eq}\frac{\pi}{50} {/eq} {eq}rad/s^2 {/eq}.

Resumen de la lección

Para comprender qué es la aceleración angular, es importante comprender primero la velocidad lineal y la aceleración lineal. La velocidad lineal es una medida de cuánto cambia su posición un objeto que viaja en línea recta con el tiempo, y la aceleración lineal es una medida de cuánto cambia la velocidad lineal con el tiempo. Para los objetos que giran y viajan en trayectorias circulares existen análogos angulares de la velocidad lineal y la aceleración lineal. La velocidad angular describe cuánto gira un objeto a lo largo del tiempo. Se mide en radianes por segundo y se representa con la letra {eq}\omega {/eq}. La aceleración angular describe qué tan rápido cambia la velocidad angular. Se mide en radianes por segundo por segundo y se representa con la letra {eq}\alpha {/eq}.

Es posible describir el movimiento de un objeto relacionando su posición, tiempo, velocidad y aceleración utilizando las ecuaciones cinemáticas. Si las variables lineales en estas ecuaciones se reemplazan con variables angulares, se denominan ecuaciones cinemáticas angulares y describen el movimiento de objetos en rotación. Es posible reorganizar tres de las cuatro ecuaciones cinemáticas angulares para resolver la aceleración angular y, cuando esto ocurre, las ecuaciones pueden denominarse fórmulas de aceleración rotacional. Para utilizar estas fórmulas, es importante que exista una aceleración angular constante.