Análisis de Circuitos RLC en Serie y Paralelo: Teoría y Aplicaciones Prácticas

Introducción a los Circuitos RLC

Los circuitos RLC, compuestos por resistencias (R), inductores (L) y capacitores (C), son fundamentales en la teoría de circuitos eléctricos y electrónicos debido a su comportamiento dinámico en sistemas de corriente alterna (CA). Estos circuitos exhiben fenómenos como la resonancia, el desfase entre voltaje y corriente, y la capacidad de filtrar frecuencias específicas, lo que los hace esenciales en aplicaciones como filtros de audio, sintonizadores de radio y sistemas de transmisión de energía. Un circuito RLC puede conectarse en serie o en paralelo, y cada configuración tiene características únicas que determinan su respuesta en frecuencia y su impedancia total.

En un circuito RLC en serie, los componentes están conectados uno tras otro, lo que significa que la misma corriente fluye a través de todos ellos. Esto genera una impedancia total que depende de la suma de las reactancias inductiva ((X_L)) y capacitiva ((X_C)), así como de la resistencia ((R)). La frecuencia a la cual (X_L = X_C) se conoce como frecuencia de resonancia, donde la impedancia del circuito es mínima (en serie) o máxima (en paralelo), permitiendo el paso máximo de corriente o el máximo almacenamiento de energía, respectivamente.

Por otro lado, en un circuito RLC en paralelo, los componentes están conectados entre los mismos dos nodos, lo que significa que comparten el mismo voltaje pero tienen corrientes diferentes. Esta configuración es común en aplicaciones donde se requiere alta selectividad de frecuencia, como en filtros de banda estrecha o circuitos tanque en transmisores de radio. En este artículo, exploraremos en profundidad el análisis matemático de ambos tipos de circuitos, sus diagramas fasoriales, curvas de respuesta en frecuencia y ejemplos prácticos de diseño.

Circuitos RLC en Serie: Análisis Matemático y Respuesta en Frecuencia

El circuito RLC en serie es uno de los modelos más estudiados en ingeniería eléctrica debido a su simplicidad y a la claridad con la que ilustra conceptos como impedancia, reactancia y resonancia. La impedancia total ({eq}(Z){/eq}) de un circuito RLC en serie se calcula como la suma fasorial de la resistencia ({eq}(R){/eq}), la reactancia inductiva ({eq}(X_L = \omega L){/eq}) y la reactancia capacitiva ({eq}(X_C = 1 / \omega C){/eq}), donde ({eq}\omega = 2\pi f{/eq}) es la frecuencia angular. Matemáticamente, la impedancia se expresa como:

[{eq}Z = R + j(X_L – X_C){/eq}]

La magnitud de la impedancia es:

[{eq}|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}{/eq}]

Cuando ({eq}X_L = X_C{/eq}), el circuito entra en resonancia, y la impedancia se reduce puramente a (R), lo que maximiza la corriente. La frecuencia de resonancia ({eq}(f_0){/eq}) se calcula como:

[{eq}f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}{/eq}]

La respuesta en frecuencia de un circuito RLC en serie muestra un pico de corriente en ({eq}f_0{/eq}), con una disminución gradual a frecuencias más altas o más bajas. Este comportamiento se utiliza en filtros pasa-banda y en sistemas de sintonización. Además, el factor de calidad ({eq}(Q){/eq}) del circuito, definido como la relación entre la energía almacenada y la energía disipada, determina la selectividad del filtro:

[{eq}Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R}{/eq}]

Un alto valor de ({eq}Q{/eq}) indica un pico de resonancia más agudo, lo que permite una mejor discriminación entre frecuencias cercanas. En la siguiente sección, analizaremos el circuito RLC en paralelo y sus diferencias clave con respecto al caso en serie.

Circuitos RLC en Paralelo: Impedancia y Aplicaciones en Filtrado

A diferencia del circuito RLC en serie, donde los componentes comparten la misma corriente, en un circuito RLC en paralelo, los elementos están sometidos al mismo voltaje pero tienen corrientes diferentes. Esto hace que el cálculo de la impedancia total sea más complejo, ya que las admitancias (inversas de las impedancias) se suman en lugar de las impedancias mismas. La admitancia total ({eq}(Y){/eq}) de un circuito RLC en paralelo se calcula como:

[{eq}Y = \frac{1}{R} + j\left(\omega C – \frac{1}{\omega L}\right){/eq}]

La impedancia total ({eq}(Z){/eq}) es entonces el inverso de la admitancia:

[{eq}Z = \frac{1}{Y} = \frac{1}{\frac{1}{R} + j\left(\omega C – \frac{1}{\omega L}\right)}{/eq}]

En resonancia ({eq}(X_L = X_C){/eq}), la parte imaginaria de la admitancia se cancela, y la impedancia alcanza su valor máximo, igual a ({eq}R{/eq}). Esto significa que, a diferencia del circuito en serie, un RLC en paralelo bloquea la corriente en la frecuencia de resonancia en lugar de permitir su paso máximo. Esta propiedad es útil en filtros rechaza-banda y circuitos osciladores.

La frecuencia de resonancia en paralelo sigue siendo la misma que en serie:

[{eq}f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}{/eq}]

Sin embargo, el factor de calidad ({eq}(Q){/eq}) en paralelo se define de manera diferente, considerando la resistencia en paralelo:

[{eq}Q = R \sqrt{\frac{C}{L}}{/eq}]

Un alto (Q) en paralelo indica una mayor impedancia en resonancia y una respuesta más selectiva. En aplicaciones prácticas, los circuitos RLC en paralelo se utilizan en filtros de radiofrecuencia, circuitos de adaptación de impedancia y osciladores de cristal.

Ejemplo Práctico 1: Diseño de un Filtro Pasa-Banda RLC en Serie

Supongamos que queremos diseñar un filtro pasa-banda RLC en serie con una frecuencia central de ({eq}1 \, \text{MHz}{/eq}) y un ancho de banda de ({eq}100 \, \text{kHz}{/eq}). Utilizaremos una resistencia de ({eq}50 \, \Omega{/eq}) y calcularemos los valores necesarios de (L) y (C).

Paso 1: Calcular (L) y (C) en Resonancia
La frecuencia de resonancia está dada por:

[{eq}f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} = 1 \, \text{MHz}{/eq}]

Podemos elegir un valor razonable para (L), como ({eq}10 \, \mu H{/eq}), y despejar (C):

[{eq}C = \frac{1}{(2\pi f_0)^2 L} = \frac{1}{(2\pi \times 10^6)^2 \times 10 \times 10^{-6}} \approx 2.53 \, \text{nF}{/eq}]

Paso 2: Calcular el Factor de Calidad ((Q))
El ancho de banda ({eq}(BW){/eq}) está relacionado con (Q) mediante:

[{eq}Q = \frac{f_0}{BW} = \frac{1 \, \text{MHz}}{100 \, \text{kHz}} = 10{/eq}]

Paso 3: Verificar la Resistencia
En un circuito RLC en serie, (Q) también se puede expresar como:

[{eq}Q = \frac{\omega_0 L}{R} \implies R = \frac{2\pi \times 10^6 \times 10 \times 10^{-6}}{10} = 6.28 \, \Omega{/eq}]

Si necesitamos ({eq}R = 50 \, \Omega{/eq}), podríamos ajustar (L) o utilizar un transformador de impedancia.

Este filtro permitirá el paso de señales alrededor de ({eq}1 \, \text{MHz}{/eq}) con un ancho de ({eq}100 \, \text{kHz}{/eq}), útil en receptores de radio.

Ejemplo Práctico 2: Circuito Tanque RLC en Paralelo para Transmisores

Un circuito tanque RLC en paralelo se utiliza en osciladores y transmisores para seleccionar una frecuencia específica. Diseñaremos uno para ({eq}10 \, \text{MHz}{/eq}) con (Q = 20) y una resistencia en paralelo de ({eq}1 \, \text{k}\Omega{/eq}).

Paso 1: Calcular (L) y (C)
Usando la frecuencia de resonancia:

[{eq}f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} = 10 \, \text{MHz}{/eq}]

Si elegimos ({eq}L = 1 \, \mu H{/eq}), entonces:

[{eq}C = \frac{1}{(2\pi \times 10^7)^2 \times 10^{-6}} \approx 253 \, \text{pF}{/eq}]

Paso 2: Verificar (Q)
En paralelo:

[{eq}Q = R \sqrt{\frac{C}{L}} = 1000 \sqrt{\frac{253 \times 10^{-12}}{10^{-6}}} \approx 15.9{/eq}]

Si necesitamos (Q = 20), podríamos aumentar (R) o ajustar (L) y (C).

Este circuito almacenará energía oscilante a ({eq}10 \, \text{MHz}{/eq}), ideal para transmisores de RF.

Conclusión

Los circuitos RLC, ya sea en serie o en paralelo, son esenciales en electrónica y telecomunicaciones. Su capacidad para resonar a frecuencias específicas los hace ideales para filtrado, sintonización y adaptación de impedancia. El análisis matemático presentado, junto con los ejemplos prácticos, demuestra su versatilidad en aplicaciones reales. Dominar estos conceptos permite diseñar sistemas más eficientes y selectivos en frecuencia.