Calculando la tasa y el crecimiento exponencial: el problema de la dinámica de la población
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Digamos que es el alcalde de un pequeño pueblo llamado Radonville, con una población de 1,000. Se le ha encomendado la tarea de determinar si necesita o no construir un nuevo ayuntamiento. Su ayuntamiento debe albergar a todos sus residentes. Ahora mismo, bueno, digamos que está empezando a ponerse un poco pequeño. Para construir un nuevo ayuntamiento, necesita tener una buena idea, o una buena estimación, de cómo cambia su población con el tiempo. No tiene sentido construir un ayuntamiento ahora si va a ser demasiado pequeño en cinco años. Quiere construir un ayuntamiento que pueda durar unos 30 años. Para hacer eso, necesita saber cómo está cambiando su población en función del tiempo.
Problema de dinámica poblacional
Según el censo más reciente, la población está creciendo a una tasa del 5% y actualmente la población es de 1.000 personas. Podemos escribir eso como población, o P , igual a 1.000 en t es igual ahora; eso es t = 0. ¿Cuándo llegará la población a 2000? ¿Cuándo llegará a 5.000? Estas son las preguntas que debe responder. Y, como alcalde de la ciudad, está preparado para hacerlo.
Veamos primero lo que significa que el crecimiento de la población es del 5% anual por persona. Debido a que el crecimiento es del 5%, eso significa que cada año, cada persona que está en la ciudad es responsable del 5% de una nueva persona. Si estoy en la ciudad, por cada año que esté allí, podría crear un pie: el 5% de una nueva persona. Si somos 20, tal vez hayamos creado una nueva persona. Cada uno de nosotros crea el 5% de la persona, por lo que 20 de nosotros creamos la persona completa. Realmente, esta tasa es la cantidad de nuevas personas por persona, por año. Esa es una tasa por persona, por tiempo. Para encontrar el crecimiento de la población en función del tiempo, debemos multiplicar esta tasa por persona por la población actual. Si somos 1.000 personas y cada uno de nosotros aporta el 5% de una persona, ¿cuántas personas estamos creando cada año?
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Fórmula de crecimiento poblacional
Si escribimos esto en términos de diferenciales, escribimos dP / dt , ese es el cambio en la población a lo largo del tiempo, es igual al 5%, o 0.05, por P , esa es la población actual. Esta es una ecuación diferencial estándar. Podemos resolver esto como para P en función de t . Usaremos la separación de variables. Recuerde, ahí es donde vamos a obtener todas las P s en el lado izquierdo de la ecuación y todas las t s en el lado derecho de la ecuación. Tenemos (1 / P ) dP = 0.05 dt . Si integro ambos lados, obtengo el log natural (ln) de P = 0.05 tmás una constante de integración ( C ). Usando lo que sé sobre exponenciales, puedo tomar e ^ (ln ( P )) y volver P . En el lado derecho, entonces, tengo e ^ (0.05 t + C ). Eso es lo mismo que ( e ^ (0.05 t )) ( e ^ C ). Debido a que C es solo una constante, e ^ C va a ser una constante, así que la llamaré C sub 1 para no tener que escribir esta e adicional aquí. Bien, sé que mi población es igual a una constante, Csub 1, multiplicado por e ^ (0,05 t ). ¿Podemos encontrar esta constante C ? Si no podemos encontrar esta constante C , entonces no sé cuál es la población en un momento dado. Usemos lo que sabemos sobre la población en este momento. En este momento, en t = 0, la población es 1000. Si introduzco P = 1,000 y t = 0, puedo resolver C sub 1. C sub 1 es entonces 1,000. En general, encuentro que la población de Radonville es igual a 1,000 e ^ (0.05 t ).
¿Cuándo llegaremos a una población de 2000? Enchufe 2000 para la población y despejemos t . 2,000 = 1,000 e ^ (0.05 t ). Divide ambos lados entre 1,000. Luego, tome el registro natural de ambos lados. Obtengo ln (2) = 0.05 t . Si resuelvo para t , encuentro que la población será de 2000 en poco menos de 14 años. Eso no es tan malo. Con suerte, no seré alcalde para entonces. Entonces, si construyo un salón con capacidad para 2000 personas, deberíamos estar bien por un tiempo. Pero digamos que queremos prepararnos para 5.000 personas. ¿Cuánto tiempo durará ese salón? ¿Cuándo llegará nuestra población a 5000? Conectemos 5,000. 5,000 dividido entre 1,000 es 5. Toma el logaritmo natural de ambos lados y obtengo ln (5) = 0.05 t. Resuelva esto para ty obtengo 32,2 años. Bien, entonces si construyo un ayuntamiento que pueda albergar a 5,000 personas, durará 32 años, asumiendo que nuestra población continúa creciendo al 5% por año.
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Otros problemas de tarifas
Este tipo de crecimiento exponencial es el mismo tipo de comportamiento que ves en cosas como cuentas bancarias o mercados de valores, en promedio. En una cuenta bancaria, obtendrá un rendimiento que es un porcentaje de interés basado en la cantidad que tiene en el banco. El cambio en la cantidad de dinero que tiene en el banco ( dM ) a lo largo del tiempo ( dt ) es igual a su tasa de interés ( r ), por dólar por año, multiplicado por la cantidad de dólares que tiene; la llamada de dejar que eso M .
Esta ecuación es exactamente igual a la anterior. Puedo separar las variables e integrar, bajar mi constante de integración, y encuentro que la cantidad de dinero que tengo en el banco es igual a C sub 1 por e a mi tasa de interés por tiempo ( M = ( C sub 1) ( e ^ ( rt )). ¿Qué significa esto? Digamos que empiezo con $ 10,000 en el banco. Si comienzo con $ 10,000 en el banco ahora mismo, eso es en t = 0, entonces mi constante, C sub 1 = 10,000. Si las tasas de interés son 0,9%, o 0,009 para r , luego de 30 años ( t= 30), puedo resolver esta ecuación para saber cuánto dinero tengo en el banco. Son 10,000 e ^ (0.009 * 30). Eso me dará $ 13,000. Eso no tiene mucho interés. Eso es $ 3,000 de interés durante 30 años.
Pero, ¿y si puedo invertir en bolsa y obtener un rendimiento del 5%? Si puedo obtener un rendimiento del 5%, eso significa que mi tasa es de 0.05. Después de 30 años, tendré un total de 10,000 e ^ (0.05 * 30), que es igual a poco menos de $ 45,000. ¿Por qué estos problemas son tan similares? Son similares porque ambos son problemas de tarifas . En ambos, la variable que le interesa, la población o la cantidad de dinero que tiene, cambia proporcionalmente al valor actual de su variable, como su población actual o la cantidad actual de dinero que tiene. Puede escribir ambos en la forma dP / dt = kP o dM / dt = rM. Ambos tienen la misma forma. Esto significa que puede resolverlos utilizando una separación de variables. Cuando haces eso, encuentras este término exponencial, como P = Ce ^ rt .
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Este es este tipo de exponencial. Ahora, qué tan alto es este exponencial, si lo grafica, dependerá de su valor inicial. La rapidez con que aumenta depende de la tasa. Piense en esto en términos de su población. El tamaño de su población en función del tiempo depende en parte, al menos inicialmente, de qué tan alta es su población actualmente. La rapidez con la que aumenta su población depende de cómo está cambiando su población o en qué porcentaje. Un porcentaje más alto significa que está cambiando más rápido y este gráfico será más empinado. Un porcentaje más bajo, o un crecimiento poblacional de cero, le dará una curva plana. Ambos son problemas de tarifas.
Resumen de la lección
Bien, repasemos. Cada vez que vea un problema de tasa , cuando tenga una derivada como dP / dt en el lado izquierdo y algo proporcional a su variable de interés en el lado derecho ( rP ), intente usar la separación de variables y espere una solución que se parezca a e ^ ( rt ).
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