Cálculo del momento angular: definición, fórmula y ejemplos

Momento angular definido

El momento angular es el equivalente rotacional del momento lineal. Ambos conceptos se refieren a la rapidez con la que algo se mueve y lo difícil que es cambiar esa velocidad. Sin embargo, el momento lineal solo tenía dos variables: masa y velocidad. El momento angular comienza con una ecuación muy similar, por lo que inicialmente puede parecer que tiene aproximadamente la misma complejidad. Como veremos, se vuelve más complicado e involucra más variables que el momento lineal.

El momento angular es el producto del momento de inercia de un objeto y su velocidad angular. Ambas cantidades deben estar sobre el mismo eje, la línea de rotación.

Fórmula

En la ecuación anterior, L representa el momento angular. El momento de inercia está representado por I y la velocidad angular es omega. Veamos cómo funciona esta ecuación.

Momento de inercia

El término ‘momento de inercia’ puede parecer confuso, pero apuesto a que ya conoce los conceptos básicos involucrados en su cálculo. Digamos que tienes dos varas de madera. Ambos pesan la misma cantidad y tienen el mismo diámetro, pero uno de ellos mide 1 pie de largo y el otro mide 10 pies de largo. ¿Cuál podrás hacer girar más rápido si lo lanzas por encima del hombro hacia un objetivo? ¿Se necesita más energía para hacer girar una pelota alrededor de tu cabeza si está en una cuerda de 2 pies o en una cuerda de 5 pies? ¿Qué pasa si duplica la masa de la pelota?

Sabías que la caña más pequeña y la cuerda más corta serían más fáciles de girar, ¿no? Entonces, ya está en camino de calcular el momento de inercia de un objeto. Puede que esté acostumbrado a que la palabra “momento” se refiera al tiempo, pero en matemáticas y física, el momento se refiere al torque o torsión. Entonces, el momento de inercia se refiere a lo difícil que es girar un objeto alrededor de un eje en particular. El momento de inercia de cualquier objeto está determinado por tres factores: forma, masa y eje de rotación.

Aquí hay una tabla que explica el momento de inercia para diferentes formas:

Forma	Eje de rotación	Momento de inercia
esfera	centro de esfera
masa puntual	distancia r desde masa puntual
cilindro macizo	eje de simetria
varilla (longitud L)	centro (no eje de simetría)
varilla (longitud L)	un final

Velocidad angular

La velocidad angular de un objeto es la rapidez con la que gira alrededor del eje de rotación. Puede calcular la velocidad angular de un objeto si conoce la velocidad lineal de cualquier punto de él utilizando la ecuación omega = v / r . Omega es la velocidad angular, v es la velocidad lineal y r es la distancia desde el eje de rotación.

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos para ayudarnos a comprender cómo calcular el momento angular.

Ejemplo 1 – Masa puntual

Ellen gira en círculo mientras está atada a una cuerda con una bola de 3 kg en el otro extremo. La pelota viaja con una velocidad lineal igual a 10 m / s. Calcula el momento angular de esta bola.

Lo primero que se debe hacer aquí, como en muchos problemas de momento angular, es calcular el momento de inercia. Este es un ejemplo de masa puntual; en esta situación, no importa cuál sea la forma del peso, solo su masa es importante. Los cálculos serían exactamente los mismos si fuera un cubo, un bloque rectangular o cualquier forma irregular unida por la cuerda a Ellen.

Yo = (3 kg) (2 m) (2 m) = 12 kgm ^ 2.

Ahora la velocidad angular:

Omega = v / r = (10 m / s) / (2 m) = 5 s

Ahora, con ambos valores, podemos determinar el momento angular.

L = Iw = (12 kgm ^ 2) (5s) = 60 kgm ^ 2 / s

Ejemplo 2 – Esfera giratoria

Matt trabaja en una bolera, y durante los momentos lentos hace girar bolas de boliche en la encimera. ¿Cuál es el momento angular de una bola de 5 kg con un radio de 10 cm y que gira a 5 radianes por segundo alrededor de un eje que pasa por su centro?

Nuevamente, el primer paso es calcular el momento de inercia usando la tabla anterior.

I = 2 (5 kg) (. 1 m) (. 1 m) / 5 = .02 kgm ^ 2

Luego usamos ese valor en nuestra ecuación de momento angular.

L = Iw = (.02 kgm ^ 2) (5s) = 0.1 kgm ^ 2 / s

Esta cantidad es significativamente menor que en el ejemplo con Ellen y el peso en una cuerda, aunque la velocidad angular es exactamente la misma y la pelota es más pesada esta vez. Esto se debe a que es mucho más fácil hacer girar una bola de boliche sobre su propio eje que hacer girar un peso sobre una cuerda mucho más larga.

¡Hecho y hecho!

Ejemplo 3: varilla sobre su extremo

Duanne, el gorila, hace girar un palo (varilla) de 3 m de largo sobre su cabeza agarrándolo de un extremo. Tiene una masa de 12 kg y su extremo más alejado se mueve con una velocidad lineal de 21 m / s. ¿Cuál es el momento angular del palo?

Momento de inercia:

Yo = (12 kg) (3 m) (3 m) / 3 = 36 kgm ^ 2

Para este, también necesitamos traducir la velocidad lineal a la velocidad angular:

w = (21 m / s) / (3 m) = 7 radianes / s

El último paso es usar ambos valores en nuestra ecuación de momento angular:

L = Iw = (36 kgm ^ 2) (7 radianes / s) = 252 kgm ^ 2 / s

Este es aún más momento angular que nuestros ejemplos anteriores. La lección aquí: ¡los gorilas son muy fuertes!

Resumen de la lección

El momento angular es el producto del momento de inercia de un objeto y su velocidad angular alrededor del mismo eje, dada por la ecuación:

El momento de inercia depende de la masa, la forma y el eje de rotación del objeto. La velocidad angular de un objeto es la rapidez con la que gira alrededor del eje de rotación.

Términos clave

Momento angular : el equivalente rotacional al momento lineal; el producto del momento de inercia de un objeto y su velocidad angular

Momento de inercia : qué tan difícil es girar un objeto alrededor de un eje en particular

Velocidad angular : qué tan rápido gira un objeto sobre el eje de rotación.

Los resultados del aprendizaje

Después de completar esta lección, verifique si puede hacer lo siguiente:

• Vuelva a contar las diferencias entre el momento lineal y angular
• Calcule el momento angular de un objeto