Camino parabólico: definición y proyectiles
Definición
¿Qué tienen en común el agua de una fuente, una bala de cañón humana y un proyectil de artillería? Matemáticamente, todos siguen un camino parabólico , que es el camino que sigue un proyectil. Si se lo está preguntando, un proyectil es un objeto sobre el que solo actúa la gravedad. En matemáticas, una parábola es una curva que es la representación gráfica de una ecuación cuadrática.
Un proyectil tiene una velocidad inicial, que es horizontal o hacia arriba en un ángulo. Si un proyectil comenzara a ir hacia arriba, también iría hacia abajo. Eso no sería una gran parábola, ya que estaría aplastado en línea recta. Sería de la misma manera si comenzara yendo hacia abajo, o si simplemente lo dejamos caer, entonces realmente estaremos mirando las trayectorias parabólicas seguidas por proyectiles con cierta velocidad inicial , o velocidad horizontal inicial.
Gravedad
La gravedad le da a cada objeto en las cercanías de la Tierra una aceleración o aumento de velocidad de aproximadamente 32 pies por segundo cada segundo, o 32 pies / seg ^ 2, o en unidades métricas, aproximadamente 9,81 m / seg ^ 2. Esto significa que si dejo caer un objeto, se acelerará a medida que cae, terminando a 32 pies por segundo al final del primer segundo, 64 pies por segundo en el segundo segundo, y así sucesivamente. Si estamos rastreando la posición de un proyectil, se debe tener en cuenta la gravedad.
Velocidad inicial
Como mencionamos hace un momento, solo consideraremos situaciones en las que el proyectil tiene cierta velocidad inicial. Esto significa que comienza a moverse, ya sea horizontalmente o en ángulo. Si la velocidad inicial es estrictamente horizontal, entonces solo necesitamos saber dónde comenzó el proyectil (tal vez al nivel del suelo, tal vez muy alto), qué tan rápido comienza a ir y cuánto tiempo ha pasado desde que se lanzó.
Si el proyectil apunta hacia arriba, entonces podemos pensar que tiene un componente vertical y un componente horizontal. Resulta que esto, más la gravedad, explicará todo el movimiento, y el punto de partida dará cuenta de la posición en cualquier momento en particular.
Poniendolo todo junto
Esta imagen muestra cómo los dos componentes de la velocidad inicial y la fuerza constante de gravedad actúan sobre un proyectil. ¿Ves las flechas? La diagonal marcada con v se divide en los componentes v sub x y v sub y . Veamos ahora solo el que está al principio; los otros combinan los efectos de la velocidad y la gravedad iniciales.
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Ahora hagamos los cálculos. Podemos establecer una ecuación para la dirección horizontal, x , y otra para la dirección vertical, y . Cualquiera de los dos dependerá de la cantidad de tiempo desde que se lanzó el proyectil; llamémoslo t y medímoslo en segundos.
El movimiento horizontal solo está influenciado por el componente v sub x y, por supuesto, por el lugar donde comienza. Si usamos trigonometría, podemos encontrarla a partir de vy el ángulo mostrado como theta. Dado que permanece igual mientras el proyectil se mueva (no nos preocupemos por el arrastre en este momento), cada segundo lo verá v sub x más adelante. Esto nos da lo siguiente:
x = x sub 0 + ( v sub x ) * t
El movimiento vertical debido a v sub y es casi tan simple, así que ocupémonos primero de esa flecha. Funciona igual que para la x . Por supuesto, partimos de la posición original, y sub 0:
y = ( v sub y ) * t + y sub 0. Tenga en cuenta que v sub y será positivo si el proyectil comienza hacia arriba y negativo si comienza hacia abajo.
Ahora todo lo que queda es la gravedad, pero siempre es la misma para cada proyectil (en la Tierra, al menos), como comentamos anteriormente. Dado que el proyectil sigue acelerándose a medida que avanza hacia abajo (eso es negativo, recuerde), la distancia se acumula de acuerdo con el cuadrado del tiempo. En pies, resulta ser:
y = -16 t ^ 2, o en el sistema métrico, y = -4.905 t ^ 2
Ahora sumemos las piezas verticales. Por el bien de la discusión, usemos pies:
y = -16 t ^ 2 + ( v sub y ) * t + y sub 0
Puede reconocer esto como una ecuación cuadrática.
Ahora usemos algunos números reales para hacer un ejemplo. Glenda intenta lanzar una pelota de baloncesto en un ángulo que la hace subir a 2 pies por segundo y hacia adelante a 16 pies por segundo. Glenda mide aproximadamente 5 ½ pies de altura, así que digamos que la pelota comenzó a 5 pies de altura. Donde se encuentra es la posición 0, porque, por supuesto, Glenda es el centro de su propio universo, ¿verdad?
La posición de la pelota de baloncesto después de t segundos es:
x = 16 t , y = -16 t ^ 2 + 2 t + 5
Sí, los números son más fáciles de ver. No solo eso, sino que podemos hacer algo genial con esto. ¿Hasta dónde llegará la pelota antes de que toque el suelo? Podemos averiguar cuántos segundos tardará la pelota en golpear el suelo. El piso es y = 0, entonces:
0 = -16 t ^ 2 + 2 t + 5
Puedo resolver esto factorizando:
0 = -16 t ^ 2 + 2 t + 5
Necesito encontrar dos números cuya suma sea 2 y cuyo producto sea (-16) (5) = -80. Parece que 10 y -8 funcionarán.
0 = -16 t ^ 2 + 10 t – 8 t + 5
0 = -2t (8 t – 5) – 1 (8 t – 5)
0 = (-2 t – 1) (8 t – 5)
0 = -2 t – 1 o 0 = 8 t – 5
1 = -2 to 5 = 8 t
-1/2 = t o 5/8 = t
Sabes que Glenda no puede lanzar la pelota medio segundo antes de que lanzara la pelota, así que tomemos 5/8 de segundo para que la pelota golpee el piso. Eso tiene sentido; ¡la bola cae bastante rápido, después de todo!
Ahora que sé que la pelota está en el aire durante 5/8 de segundo, veamos qué tan lejos llega:
x = 3 t = 16 (5/8) = 10
Bueno, eso no fue demasiado, pero Glenda no es una atleta profesional. ¿Cómo funcionaría si lanzaras la pelota?
La imagen final está aquí porque, de hecho, esto en realidad es ciencia espacial.
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El cohete no es un proyectil perfecto debido a las etapas y al empuje durante un corto tiempo después del lanzamiento, pero sigue siendo una trayectoria parabólica bastante buena, ¿no?
Resumen de la lección
Cuando lanzamos un proyectil , sigue un camino parabólico . Hay un componente horizontal y un componente vertical en su movimiento, y se pueden estudiar por separado. Horizontalmente, el proyectil simplemente se mueve a la velocidad horizontal inicial (el componente horizontal de la velocidad inicial) hasta que algo lo detiene. Verticalmente, tenemos la gravedad más la componente vertical de la velocidad . Deberíamos añadir también la posición inicial del proyectil. La posición vertical del proyectil en función del tiempo que se ha estado moviendo es una ecuación cuadrática.
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