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Uso de ecuaciones paramétricas para describir el movimiento de proyectiles

Publicado el 24 noviembre, 2020

Movimiento de proyectiles y acrobacias

Imagina que estás trabajando en el set de una gran película de acción. Con un equipo de especialistas en matemáticas, evaluará la viabilidad de un truco en particular. ¿Puede nuestro especialista realmente saltar de un acantilado a una altura de 15 metros? Es mejor trabajar con las matemáticas en lugar de hacer un enfoque de prueba y error. ¡Ay! Y, por supuesto, no intentes este truco en casa.

Primero, desarrollaremos las ecuaciones que describen el movimiento de un proyectil usando ideas de integración. Luego, nos divertiremos creando un escenario para un especialista. Finalmente, mostraremos otra forma para las ecuaciones de movimiento de proyectiles.

Ecuaciones de movimiento de proyectiles

Un proyectil es un objeto físico (que podría ser una persona) que se mueve en el espacio. El movimiento del proyectil es el movimiento del proyectil en algunas condiciones como la velocidad inicial y la gravedad. Usamos ecuaciones de movimiento de proyectiles para describir las coordenadas de ubicación del proyectil; generalmente en función del tiempo.

Una forma genial de recordar las ecuaciones del movimiento de proyectiles comienza con:

a_y = -g; a_x = 0

La aceleración en la dirección y se debe a la gravedad, g . La fuerza debida a la gravedad apunta hacia abajo y la dirección y positiva apunta hacia arriba, por lo que escribimos un signo negativo delante de g . El valor de la constante, g , está muy cerca de 9,8 m / seg 2 .

La aceleración en la dirección x es 0.

Ahora integramos:

v_y = -gt + v_yo; v_x = v_xo

La integral de la aceleración, a , es la velocidad, v . Y a la integral indefinida se le suma una constante:

  • v y o es la velocidad inicial en la dirección y
  • v x o es la velocidad inicial en la dirección x

Integrar una vez más:

y = -gt ^ 2/2 + v_yo_t + y_o; x = v_xo_t + x_o

Estas son las ecuaciones paramétricas que describen el movimiento de un proyectil. El parámetro es la variable t (tiempo). En lugar de que y sea ​​una función de x , tenemos tanto x como y como funciones de t .

Tenga en cuenta que la posición inicial es ( x o , y o ). A menudo llamamos y O , el ” altura inicial ”.

Las ecuaciones de proyectiles de la persona acrobática

En esta escena en particular, nuestro especialista está siendo perseguido por una multitud de personas enojadas y corre a velocidad olímpica por un acantilado:


La altura del acantilado, H, es de 15 metros.
La_altura_del_ acantilado, H, _es_15_metros

Este acrobático realmente rápido viaja a 10 metros por segundo y logra lanzarse en el aire en un ángulo de 30 o :


Todo lo que sube tiene que bajar.
Todo lo que sube tiene que bajar.

Para la captura de la persona truco, una red se colocará hacia el suelo en x = R .

Es habitual describir el movimiento dentro de un sistema de coordenadas xy :


Necesitamos el valor de x cuando y es 0
Necesitamos_el_valor_x_cuando_y_es_0

¡Es hora de algunas exenciones de responsabilidad! En primer lugar, nuestras ecuaciones son ideales y no permiten la resistencia del aire. Además, si hay un viento fuerte, esto alterará nuestros cálculos. Bien, desplegaremos una red extra grande.

Para usar nuestras ecuaciones de movimiento de proyectiles, necesitamos la velocidad inicial en las direcciones x e y . El vector de velocidad, v , es la flecha roja:


Despegando en un ángulo theta
Despegando_en_un_angle_theta

La velocidad inicial en la dirección x es v cos θ = 10 cos 30 o = 8.66 m / seg.

En la dirección y , la velocidad inicial es 10 sen 30 o = 5 m / seg.

Para y = 0:

0 = -gt ^ 2/2 + v_yo_t + y_o

Sustituyendo g , v yo y y o :

4.9t ^ 2-5t-15 = 0

Resolvemos t usando la ecuación cuadrática. Habrá dos valores para t cuando y = 0. Un valor será negativo y el otro positivo. Tomamos el valor positivo:

t = (5 + raíz cuadrada (25 + 4 (4.9) 15) /9.8

Esto se calcula a ≅ 2,3 segundos.

En t = 2,3 segundos, x = v xo t = 8,66 (2,3) ≅ 20 metros. ¡Y aquí es donde colocaremos la red!

Otra forma para las ecuaciones de movimiento de proyectiles

¿Y si quisiéramos que las ecuaciones en forma de y es igual a una función de x ? Todo lo que tenemos que hacer es eliminar el parámetro t .

De la ecuación: x = v xo t + x o , resolvemos para t :

t = (x-xo) / v_xo

Luego, sustituya t por el lado derecho en la ecuación y :

y = - (g / 2) ((x-xo) / v_xo) ^ 2 + v_yo ((x-xo) / v_xo) + yo

v yo = v sin θ y v xo = v cos θ. Entonces, v yo / v xo = v sin θ / v cos θ = tan θ:

y = - (g / 2) ((x-xo) / v_xo) ^ 2 + tan_theta (x-xo) + yo

Ahora, nuestra gráfica de y vs x es la descripción matemática completa:


La solución matemática
La_solución_matemática

¿Recuerda cómo la ecuación cuadrática tuvo dos resultados para t y uno fue negativo? La solución matemática, cuando se permite retroceder en el tiempo, tiene un valor tanto negativo como positivo para t en y = 0. Pero el valor negativo tiene al especialista en algún lugar dentro del acantilado. Tiene sentido matemáticamente pero no físicamente. Y es por eso que solo tomamos valores t positivos .

Resumen de la lección

El movimiento de un proyectil en el espacio se llama movimiento de proyectil y este movimiento se describe mediante ecuaciones de movimiento de proyectil . Las coordenadas ubican el proyectil en el espacio. Cuando las ecuaciones de coordenadas son funciones de alguna otra variable, esta otra variable (generalmente tiempo, t ) se denomina parámetro y las ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas de movimiento de proyectil.

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