Circumradius: definición y fórmula

Publicado el 8 diciembre, 2020

Circumradius: Definición

Suponga que un arquitecto está diseñando un edificio con forma de cúpula, y la parte superior tiene un techo de vidrio en forma de pentágono con lados iguales (también llamado pentágono regular) y una viga circular alrededor. Mientras diseña el techo de vidrio, se da cuenta de que necesitará vigas de apoyo que se extiendan desde cada uno de los vértices de la ventana pentagonal hasta el centro de la viga de apoyo circular como se muestra en la imagen.

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¡Este techo de vidrio pentagonal junto con la viga circular que lo rodea es en realidad un concepto bastante fascinante en matemáticas! Cualquier círculo dibujado alrededor de un polígono, o forma bidimensional con lados rectos, de tal manera que pase por cada uno de los vértices del polígono se llama circuncírculo . En este escenario, el techo de vidrio pentagonal es el polígono y la viga circular es el círculo circunferencial.

Otra característica importante que posee un polígono con circunferencia es la circunferencia. Un circunradio de un polígono es el radio del circunferencia del polígono. También se puede considerar como un segmento de línea que va desde cualquier vértice del polígono hasta el centro de la circunferencia.

Mirando hacia atrás en nuestro techo de vidrio pentagonal, ¿puede identificar qué partes de él representarían un circunradio del techo de vidrio? Si está pensando que cada una de las vigas de soporte que van desde los vértices del pentágono hasta el centro del círculo circunferencial sería un radio circunferencial del techo de vidrio pentagonal, ¡tiene razón! Echemos un vistazo a cómo encontrar la longitud de un circunradio de un polígono.

Circunradio del triángulo

No todos los polígonos tienen circunferencias, por lo que no todos los polígonos tienen circunferencia. Sin embargo, todos los triángulos y todos los polígonos regulares tienen estas características, así que consideremos las fórmulas para encontrar la longitud del circunradio de un triángulo y para un polígono regular.

Empezaremos con un triángulo. Si un triángulo tiene longitudes de los lados un , b , y c , entonces podemos encontrar la longitud de su circunferencia circunscrita utilizando la siguiente fórmula:

R = ( abc ) / √ (( a + b + c ) ( b + ca ) ( c + ab ) ( a + bc ))

Esto puede parecer una fórmula complicada, pero cuando nos conectamos valores para un , b , y c, vamos a encontrar que en realidad no es tan malo. Por ejemplo, suponga que tenemos un triángulo con lados de 6 pulgadas, 8 pulgadas y 10 pulgadas.

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Para encontrar la longitud del circunradio de este triángulo, simplemente dejamos a = 6, b = 8 y c = 10, y reemplazamos estos valores en nuestra fórmula y simplificamos.

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Terminamos con R = 5, por lo que la longitud del radio circunferencial del triángulo con lados de 6 pulgadas, 8 pulgadas y 10 pulgadas es de 5 pulgadas. ¡Eso fue bastante fácil! ¡Te dije que no estaba tan mal! Consideremos polígonos regulares.

Circunradio de polígono regular

Un polígono regular es un polígono que tiene lados de igual longitud, como el techo de vidrio pentagonal en nuestro ejemplo inicial. Supongamos que ahora que el arquitecto ha hecho su diseño, contrata a un constructor para que lo ayude a hacer realidad su diseño. Ella le dice al constructor que los lados del techo pentagonal tendrán una longitud de 7 pies cada uno.

Mientras el constructor está tratando de recolectar materiales, se da cuenta de que necesita conocer las longitudes de las vigas de apoyo que van desde los vértices del pentágono hasta el centro de la viga circular. En otras palabras, necesita conocer la longitud del radio de circunferencia del techo de cristal pentagonal. Afortunadamente, tenemos otra buena fórmula para la longitud de un radio de circunferencia de un polígono regular.

Si un polígono regular tiene n lados, cada uno de longitud s , entonces la longitud del radio circunferencial del polígono regular se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

R = s / (2sin (π / n ))

donde π / n está en radianes. ¡Perfecto! Dado que el techo de vidrio es un pentágono regular, podemos usar esta fórmula para encontrar la longitud del radio circunferencial del techo o la longitud de las vigas de apoyo que el constructor necesita saber.

Sabemos que el techo pentagonal tiene 5 lados, y el arquitecto dijo que cada lado debería tener una longitud de 7 pies. Por lo tanto, reemplazamos s = 7 yn = 5 en la fórmula para el radio de circunferencia de un polígono regular, y podemos encontrar la longitud deseada.

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Obtenemos que el radio de circunferencia del techo de vidrio pentagonal es de aproximadamente 5,95 pies, por lo que esta es la longitud que debe tener cada una de las vigas de soporte.

Resumen de la lección

Muy bien, ¡tomemos un momento o dos para revisar lo que hemos aprendido!

Cualquier círculo dibujado alrededor de un polígono, o forma bidimensional con lados rectos, de tal manera que pase a través de cada uno de los vértices del polígono se llama circunferencia de ese polígono, mientras que el radio de circunferencia de un polígono se llama circunferencia del polígono. El circunradio también se puede considerar como un segmento de línea que va desde cualquiera de los vértices del polígono hasta el centro del círculo circunferencial.

No todos los polígonos tienen circunferencia, porque no todos los polígonos tienen circunferencia, pero sí todos los triángulos y todos los polígonos regulares. Además, tenemos algunas fórmulas agradables para encontrar las longitudes del circunradio de un triángulo y de un polígono regular, que incluyen, como puede ver:

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Estas fórmulas hacen que encontrar la longitud del radio de circunferencia de un triángulo o de un polígono regular sea muy sencillo, por lo que es una buena idea guardarlas en nuestras cajas de herramientas matemáticas para usarlas en el futuro.

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