Circuncirculo: definición, propiedades y fórmula

Publicado el 8 diciembre, 2020

Circuncirculo

¡Oh no! La ciudad de Faye acaba de sufrir un derrame muy grave de desechos tóxicos por parte de la central eléctrica local. El derrame ocurrió de tal manera que existe un área cuadrada donde el riesgo para el público es máximo, y toda el área de riesgo se encierra en un círculo que pasa por cada uno de los vértices del cuadrado como se muestra en la imagen.

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Cuando un polígono está encerrado en un círculo que pasa por todos sus vértices, llamamos a ese círculo el círculo circunferencial del polígono. Por ejemplo, dado que toda el área circular de riesgo pasa por cada uno de los vértices del área cuadrada de alto riesgo, diríamos que el círculo es la circunferencia del cuadrado.

Los círculos tienen diversas características y propiedades que los hacen muy interesantes y proporcionan fórmulas para analizar sus diferentes aspectos.

Propiedades y fórmulas

Como cualquier círculo, un circuncírculo tiene un punto central y un radio. Llamamos al punto central el circuncentro del polígono al que pertenece el circuncírculo. El radio es un segmento de línea desde el circuncentro hasta cualquier punto en el circuncírculo, y se llama circunradio del polígono al que pertenece el circuncírculo.

El área y el perímetro de un círculo circunferencial son los mismos que serían para cualquier otro círculo. Si un círculo tiene un radio r , entonces las fórmulas para el área y el perímetro de ese círculo son las siguientes:

  • Área de un círculo = π r 2
  • Perímetro de un círculo = 2π r

Vemos que ambas fórmulas dependen del radio de un círculo, por lo que en el caso de un círculo circunferencial, el área y el perímetro de un círculo circunferencial dependen del radio circunferencial del polígono al que pertenece el círculo circunferencial. Por lo tanto, para encontrar el área o el perímetro de un círculo circunscrito de un polígono, seguimos estos pasos:

  1. Calcula la longitud del radio circunferencial del polígono.
  2. Reemplaza el valor que encontraste en el paso 1 para r en la fórmula apropiada.

Obviamente, el circunradio de un polígono va a depender del tipo de polígono, por lo que será diferente en cada caso. Por lo tanto, es una buena idea practicar el trabajo con el círculo circunferencial de diferentes tipos de polígonos, para que podamos estar cómodos con este concepto. Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Mirando hacia atrás al derrame tóxico en la ciudad de Faye, el ayuntamiento determina que las longitudes de los lados del área cuadrada de alto riesgo son de 100 metros cada uno. Están trabajando duro para contener el área de riesgo, por lo que deciden que quieren poner una gran cobertura sobre toda el área de riesgo y luego quieren construir una cerca sólida alrededor de toda el área de riesgo para evitar que el derrame de desechos tóxicos propagación y para mantener a las personas fuera del área de riesgo. Para hacer esto, necesitan conocer el área actual de toda el área de riesgo, y necesitan conocer el perímetro de toda el área de riesgo para saber la cantidad de materiales que necesitarán.

En otras palabras, necesitamos encontrar el área y el perímetro del círculo circunferencial del área cuadrada de alto riesgo. Para encontrarlos, primero tenemos que encontrar el radio de circunferencia del cuadrado y luego podemos insertarlo en nuestras fórmulas de área y perímetro.

circuncirc2

Observe que en un cuadrado, el circunradio es la mitad de la longitud de una diagonal del cuadrado. También ocurre que la longitud de la diagonal de un cuadrado con una longitud de lado s es la siguiente:

  • Longitud de una diagonal = √ (2s ^ 2)

Por lo tanto, el circunradio de un cuadrado con una longitud de lado s es

  • Longitud del radio de circunferencia = (1/2) √ (2s ^ 2)

Podemos simplificar esto.

circuncirc3

Perfecto, entonces tenemos que la longitud del circunradio de un cuadrado con longitud de lado s se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

  • Circunradio = (√ (2) / 2) ⋅ s

Sabemos que el área cuadrada de alto riesgo tiene una longitud de lado de 100 metros. Si introducimos s = 100 en la fórmula del circunradio para un cuadrado, obtenemos que el circunradio de nuestra área cuadrada de alto riesgo es (√ (2) / 2) ⋅ 100, o 50√ (2). Impresionante, ahora podemos encontrar el área y el perímetro de la circunferencia del cuadrado y, a su vez, tendremos el área y el perímetro de toda el área de riesgo.

  • Área = π r 2 = π (50√ (2)) 2 = π (2500 ⋅ 2) = 5000π ≈ 15707.96
  • Perímetro = 2π r = 2π (50√ (2)) = 100π√ (2) ≈ 444,29

Conseguimos que la cobertura para toda la zona de riesgo deberá tener una superficie aproximada de 15707,96 metros cuadrados, y el cerco macizo deberá tener una longitud total aproximada de 444,29 metros.

¡Uf! ¡La ciudad de Faye pronto volverá a estar segura gracias a esta valiosa información de los círculos y sus propiedades!

Resumen de la lección

Una circunferencia circunscrita de un polígono es un círculo que encierra el polígono en tal una forma que pasa a través de todos los vértices del polígono. El centro de un circuncírculo se llama circuncentro del polígono, y el radio de un circunferencial se llama circunradio del polígono.

Podemos encontrar el área y el perímetro de un círculo circunscrito usando las mismas fórmulas que usaríamos para cualquier círculo. Es decir,

  • Área de un círculo = π r 2
  • Perímetro de un círculo = 2π r

En el caso de un círculo circunferencial de un polígono, r en estas fórmulas es el radio circunferencial del polígono. Encontrar el radio de circunferencia de diferentes polígonos es diferente para cada tipo de polígono, por lo que los pasos generales para encontrar el área y el perímetro de una circunferencia son los siguientes:

  1. Calcula el radio de circunferencia del polígono.
  2. Ingrese el valor que encontró en el paso uno para r en la fórmula apropiada.

Saber qué son los círculos circunferenciales y sus propiedades es una información invaluable, porque los círculos circunferenciales pueden aparecer fácilmente en el mundo que nos rodea, por lo que es bueno que ahora estemos más familiarizados con este concepto.

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