Cómo calcular integrales de funciones trigonométricas

Revisión del cálculo de integrales

Recuerde que puede calcular la integral definida de f (x) desde a hasta b como la anti-derivada de f (x) evaluada en b menos la anti-derivada de f (x) evaluada en a , que escribimos como la anti-derivada de f (x) de a a b . Si usted tiene una integral indefinida que es sin límites, su integral indefinida es igual a la anti-derivada de f (x) más algo de constante de integración C .

La derivada es la pendiente de la tangente de la función.

Integrales de seno y coseno

Echemos un vistazo a las funciones trigonométricas, como f (x) = sin ( x ). Si recuerda, la derivada de sin ( x ) = cos ( x ), porque la derivada es la pendiente de la tangente de la función. Entonces aquí está sin ( x ) en x = 0. La tangente tiene una pendiente de 1, que es el valor de cos ( x ) evaluado en x = 1. En x = pi / 2, la pendiente de sin ( x ) es igual a 0. El valor de cos ( x ) es igual a 0, porque la derivada de sin ( x ) es igual a cos ( x ).

Por otro lado, la derivada de cos ( x ) con respecto a x es igual a -sin ( x ). Puedo usar estas derivadas para determinar cuál es la integral, digamos de sin ( x ). La integral de sin ( x ) dx es igual a -cos ( x ) + C . Como ves esto? Bueno, si tomo la derivada de -cos ( x ) + C , lo entiendo menos la derivada de cos ( x ), además de la derivada de C . La derivada de una constante es cero porque la pendiente de una línea que tiene un valor constante es cero y la derivada de cos ( x ) es -sin ( x). Entonces mi término d / dx (cos ( x )) se convierte en – -sin ( x ), o simplemente sin ( x ). Entonces -cos ( x ) + C es un anti-derivado de sin ( x ). Es decir, si tomo la derivada de -cos ( x ) + C , termino con sin ( x ). Puede hacer un argumento similar para la integral de cos ( x ). Aquí, la integral de cos ( x ) es igual a sen ( x ) + C . Esto se puede ver tomando la derivada de sen ( x ) + C . Eso es igual a cos ( x ).

Hay muchas funciones trigonométricas, pero en realidad solo hay dos de las que necesita conocer la integral de la parte superior de su cabeza, y esas son sin ( x ) y cos ( x ). Todos estos otros tipos generalmente los buscará en una tabla o puede determinarlos simplemente conociendo sin ( x ) y cos ( x ). Así que recuerda que la integral de sen ( x ) dx = -cos ( x ) + C , y la integral de cos ( x ) dx = sen ( x ) + C .

Ejemplo de
función trigonométrica .

Primer ejemplo

Entonces hagamos un ejemplo. Digamos que queremos integrar la función f (x) = sin ( x ) entre x = 0 y x = 2 pi . Recuerde que la integral es igual al área bajo la curva. Si tiene una curva por encima del eje x , esa área es positiva. Pero si tiene algo debajo del eje x , en realidad es una integral negativa. Entonces, lo que realmente estás haciendo es sumar esta área positiva y restar esta área negativa para encontrar la integral. Simplemente usando tu intuición, sabes que si estás tratando de encontrar la integral, es decir, esta área positiva menos esta área negativa, podría ser cero, pero veamos si podemos calcular eso exactamente.

Entonces, calculemos la integral de 0 a 2 pi de sin ( x ) dx . Usando el teorema fundamental, sé que es igual a la anti-derivada de sin ( x ) evaluada de 0 a 2 pi . También sé que una anti-derivada es -cos ( x ), porque la integral de sin ( x ) dx es igual a -cos ( x ) más una constante. Así que conectemos mi anti-derivado, que es -cos ( x ). Tengo -cos ( x ) evaluado de 0 a 2 pi . Recuerde, esto es como decir que estoy evaluando esto en 2 pi y restando mi evaluación de esto en 0. Así que tengo -cos (2pi ) – (-cos (0)). Eso es como -1 – -1, que es -1 + 1, que es solo 0. De hecho, la integral de 0 a 2 pi de sin ( x ) es 0; hay una cantidad igual de área por encima y por debajo del eje x .

Segundo ejemplo

Esto es igual a la anti-derivada de cero a pi.

¿Qué pasa con una función como cos ( x ) + 1 entre x = 0 y pi ? Nuevamente, usemos el teorema fundamental y digamos que la integral de 0 a pi de (cos ( x ) + 1) dx es igual a la anti-derivada de esta función evaluada de 0 a pi . Ahora dividamos esta integral en dos integrales separadas para que sea igual a la integral de 0 a pi de cos ( x ) más la integral de 0 a pi de 1 dx . Este primer término, la integral de 0 a pi de (cos ( x )) dx, es igual a la anti-derivada de 0 a pi . Esa anti-derivada es sin ( x ), entonces lo conectamos aquí y obtengo sin ( x ) evaluado de 0 a pi , entonces eso es sin ( pi ) -sin (0). Bueno, eso es igual a 0.

Bien, ¿qué pasa con el segundo término, 0 a pi dx ? 0 a pi dx es igual a la anti-derivada evaluada de 0 a pi . La anti-derivada de 1 es x + C , y recuerde que estamos ignorando C aquí porque estamos viendo una integral definida. Así que voy a conectar x para mi anti-derivado y evaluar de 0 a pi , y obtengo pi – 0, que es solo pi . Entonces mi integral total es igual a 0 + pi , y eso es solo pi , por lo que el área debajo de la curva aquí es igual a pi . Es decir, la integral de 0 api de cos ( x ) + 1 es igual a pi .

Resumen de la lección

Revisemos. Hay muchas funciones trigonométricas, pero en realidad solo necesitas memorizar dos anti-derivadas. Es decir, lo que necesita saber la integral de sen ( x ) dx es igual a -cos ( x ) + C . Eso es porque si tomas la derivada de -cos ( x ) + C obtienes sin ( x ). La integral de cos ( x ) dx es igual a sen ( x ) + C . Y nuevamente, eso es porque si tomas la derivada de sin ( x ) + C terminas obteniendo cos ( x ).