Cómo encontrar la circunferencia de un triángulo

Circumradio de un triángulo

Imagina que existe un lago llamado Clear Circle Lake. Se llama así porque es un círculo perfecto y es tan claro que puedes ver directamente el fondo del lago y todas las criaturas marinas que hay dentro. Ahora, suponga que hay tres pueblos en el lago llamados pueblos ‘triangulares’. Esto se debe a que cada ciudad está conectada por un puente sobre Clear Circle Lake, y esos puentes forman un triángulo.

Debido a que la mejor área de observación del lago está en el centro del lago, el alcalde de la ciudad triangular A decide que quiere construir un puente desde la ciudad hasta el centro exacto del lago para un área de observación para los residentes de la ciudad.

Ahora viene la parte interesante. Cada aspecto de este escenario tiene un nombre matemático. Considere las siguientes definiciones:

• Vértices de un triángulo : aquí es donde los puntos en los que se encuentran los lados de un triángulo
• Circuncírculo de un triángulo : este es un círculo que pasa por todos los vértices de un triángulo.
• Circuncentro de un triángulo : este es el centro de la circunferencia de un triángulo, y finalmente
• Circumradio de un triángulo : este es el radio de la circunferencia de un triángulo, o el segmento de línea que conecta cualquier vértice de un triángulo al circuncentro del triángulo.

Piense en Clear Circle Lake y las ciudades triangulares nuevamente. Como dijimos, los puentes entre las ciudades triangulares forman un triángulo, por lo que las ciudades triangulares son los vértices de ese triángulo. Clear Circle Lake es el círculo circunferencial del triángulo formado por los puentes, y la mejor área de visualización en el centro del lago es el circuncentro. Por último, el puente que quiere construir el alcalde de la ciudad A sería la circunferencia del triángulo.

¡Eh! ¿Quién diría que un lago y algunos pueblos podrían ser tan matemáticos?

Mientras el alcalde de la ciudad A está creando los planos para el puente, se da cuenta de que para poder construir el puente en el plano también necesitará calcular la longitud del puente, de modo que pueda comprar la cantidad correcta de materiales de construcción. En otras palabras, necesita saber cómo encontrar el radio de circunferencia de un triángulo y su longitud para poder construir el puente. ¡Echemos un vistazo a cómo hacer ambas cosas!

Construyendo el Circumradius

Resulta que la construcción de un circunradio de un triángulo se puede hacer usando solo una regla y un compás. Gira en torno al hecho de que el circuncentro de un triángulo es también el punto en el que se cruzan las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo. La bisectriz perpendicular de un segmento de línea es una línea que es perpendicular al segmento de línea y corta el segmento de línea exactamente por la mitad.

Esta construcción asume que uno ya está familiarizado con la construcción de bisectrices perpendiculares usando una regla y un compás. Además, es importante tener en cuenta que el circuncentro de un triángulo puede caer dentro o fuera del triángulo.

Para crear un circunradio de un triángulo, utilizamos los siguientes pasos:

1. Empiece con el triángulo ABC .

2. Construya la bisectriz perpendicular del lado AB y construya la bisectriz perpendicular del lado BC . Llama al punto de las dos mediatrices intersección M . Este es el circuncentro del triángulo, por lo que es el centro del círculo circunferencial del triángulo.

3. Usa la regla para crear un segmento de línea desde M hasta cualquiera de los vértices del triángulo. El segmento de línea que creaste va desde el centro de la circunferencia a un vértice del triángulo que también se encuentra en la circunferencia, por lo que es el circunradio del triángulo. ¡Lo has hecho!

Eso no es tan difícil. Ahora que sabemos cómo construir un circunradio, veamos cómo encontrar su longitud.

Hallar la longitud del circunradio

Para encontrar la longitud del circunradio del triángulo, podemos usar una fórmula práctica. Solo necesitamos saber las longitudes de todos los lados del triángulo. Si un triángulo tiene longitudes de los lados un , b , y c , entonces el circunradio tiene la siguiente longitud:

• R = ( abc ) / √ (( a + b + c ) ( b + c – a ) ( c + a – b ) ( a + b – c ))

Ahora, de vuelta a las ciudades triangulares. Dado que sabemos que las longitudes de los lados de nuestro triángulo son a = 4 km, b = 5 km yc = 8 km, simplemente los introducimos en la fórmula que puedes ver aquí. Una vez que simplificamos para encontrar la longitud del circunradio, primero obtenemos:

Entonces, como puede ver, encontramos que el circunradio tiene una longitud de aproximadamente 4.9 kilómetros, por lo que esta es la longitud del puente a construir. Simple, ¿verdad?

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a repasar lo que hemos aprendido sobre cómo encontrar el circunradio de un triángulo. La circunferencia de un triángulo es un círculo que pasa a través de todos los vértices del triángulo , y la circunferencia de un triángulo es el radio de la circunferencia del triángulo, o el segmento de recta desde el circuncentro a cualquiera de los vértices del triángulo. Recuerda que el circuncentro del triángulo es el centro del circuncírculo.

Podemos construir un circunradio de un triángulo usando solo una regla y un compás. También, podemos encontrar la longitud de una circunferencia circunscrita usando el hecho de que si las longitudes de los lados de un triángulo son una , b , y c , entonces la longitud de la circunferencia circunscrita de ese triángulo se puede encontrar utilizando la siguiente fórmula:

• R = ( abc ) / √ (( a + b + c ) ( b + c – a ) ( c + a – b ) ( a + b – c ))

Siempre es fascinante cómo las cosas en el mundo, como nuestras ciudades triangulares, se pueden representar matemáticamente, y podemos usar esas representaciones para analizar situaciones y problemas del mundo real. ¡Conocer el radio de circunferencia de un triángulo nos ayuda a hacer precisamente eso!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador