Cómo evaluar determinantes de orden superior en álgebra

Determinantes

Definimos el determinante como un número especial calculado a partir de una matriz cuadrada. Es importante conocer los determinantes y poder calcularlos porque brindan información útil sobre la matriz y ayudan a encontrar la inversa de la matriz. También son útiles en matemáticas superiores como cálculo.

Cuando trabajamos con determinantes, tenemos un símbolo muy especial para ellos. Las matrices se escriben con corchetes, mientras que el determinante de una matriz se escribe con barras verticales, al igual que las que usa para el valor absoluto. Entonces, el determinante de una matriz M, [M], se ve así: D = | M | donde M representa la matriz M.

Los únicos tipos de matrices para los que podemos calcular el determinante son las matrices cuadradas. Estas son las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas. Sí, el número de filas y columnas es el mismo para una matriz cuadrada. Se les llama cuadrados porque la forma de la matriz parece un cuadrado. Las matrices de 2 x 2, 3 x 3 y 4 x 4 son todas matrices cuadradas. Podemos encontrar determinantes para todas estas matrices.

El determinante básico es el de la matriz 2 x 2. La fórmula para encontrar el determinante de dicha matriz es la siguiente:

Lo que sucede aquí es que tomamos los números de nuestra fila superior uno por uno. Mirando el primer número en la fila superior, cancelamos visualmente todos los números en esa misma fila y columna. Nos quedamos con el número d . Multiplicamos nuestra a con la d . Hacemos lo mismo con el segundo número de la fila superior, b . Anulamos visualmente todos los números en la misma fila y columna que b . Nos quedamos con c . Luego los multiplicamos juntos. Ahora restamos este producto del primero.

Echemos un vistazo a cómo se hace esto con un ejemplo. Comenzamos con nuestra matriz de 2 x 2.

Luego, el determinante se escribe con barras de valor absoluto.

Escribimos una D mayúscula para representar el determinante, y luego tenemos las barras de valor absoluto alrededor de nuestra matriz para mostrar que calcularemos el determinante. El determinante de esta matriz es 1 * 4 – 2 * 3. Hemos tomado cada número de la fila superior y lo hemos multiplicado por su número opuesto.

Lo que realmente sucede es que cuando miramos el primer número en la fila superior, 1, cancelamos mentalmente todos los números en la misma fila y columna. Nos queda el 4. Ese es el número con el que multiplicamos nuestro 1. Mirando el segundo número en la fila superior, el 2, nuevamente cancelamos mentalmente todos los números que están en la misma fila y columna. Cancelamos mentalmente los números de la fila superior y de la segunda columna. Nos queda el número 3, así que multiplicamos nuestro 2 por 3.

También tenemos un patrón de más y menos a lo largo de la fila superior. Nuestro primer número es siempre más, luego tenemos un negativo. Si nuestra matriz es más grande, entonces nuestro próximo número será un más, seguido de un negativo nuevamente. Por eso tenemos 1 * 4 – 2 * 3. Al hacer este cálculo, tenemos 4 – 6 para un determinante de -2.

Una matriz de orden superior

Si nuestra matriz es mayor que 2 x 2, la llamamos matriz de orden superior . Estas son las matrices que son 3 x 3, 4 x 4 y así sucesivamente. Seguimos el mismo patrón que hicimos para encontrar el determinante de una matriz de 2 x 2 para encontrar los determinantes de estas matrices más grandes. La fórmula para el determinante de una matriz de 3 x 3 es la siguiente:

Estamos haciendo lo mismo que hicimos con la matriz 2 x 2. Tomamos cada término de nuestra fila superior. Anulamos visualmente todos los números en la misma fila y columna. Multiplicamos el número de la fila superior con lo que queda. Dado que esta es una matriz de orden superior, nos queda otra matriz. Por lo tanto, debemos dar un paso más: debemos tomar los determinantes de las mini matrices que obtenemos. Seguimos el patrón de más, menos, más, menos para juntar todos los productos.

Echemos un vistazo a cómo funciona esto con un ejemplo. Encontraremos el determinante de esta matriz de 3 x 3.

Matrices menores

Trabajaremos con la fila superior como lo hicimos para la matriz 2 x 2. Comenzamos con el primer número de la fila superior: el 1. Cancelamos mentalmente todos los números de la misma fila y columna. Nos queda una matriz de 2 x 2 donde la fila superior es 5 y 6 y la fila inferior es 8 y 9. Hmm. Entonces estamos multiplicando el 1 con la matriz de 2 x 2. Bueno. Lo mantendremos así por ahora.

El siguiente número es el 2. Nuevamente cancelamos mentalmente todos los números que están en la misma fila y columna. Nuevamente, nos queda una matriz de 2 x 2. Esta vez, los números son 4 y 6 en la fila superior y 7 y 9 en la fila inferior. Nuestro tercer número es 3. Cancelamos mentalmente todos los números que están en las mismas filas y columnas. Nos queda una matriz de 2 x 2 donde la fila superior es 4 y 5 y la fila inferior es 7 y 8. Aplicamos el patrón positivo y negativo a nuestra fila superior. Nuestro 1 es positivo, nuestro 2 es negativo y nuestro 3 es positivo.

Las pequeñas matrices que hemos creado se denominan matrices menores. Como también son matrices cuadradas, podemos entrar y repetir el proceso de encontrar el determinante con estas matrices hasta que nos quedemos con todos los números y sin matrices.

Nuestra primera matriz menor es la que tiene 5 y 6 en la fila superior y 8 y 9 en la fila inferior. El determinante de esta matriz menor es 5 * 9 – 6 * 8 = 45 – 48 = -3. Bueno. La siguiente matriz menor es la que tiene el 4 y el 6 en la parte superior y el 7 y el 9 en la parte inferior. El determinante de esta matriz es 4 * 9 – 6 * 7 = 36 – 42 = -6. La última matriz menor es la que tiene el 4 y el 5 en la parte superior y el 7 y el 8 en la parte inferior. El determinante de esta matriz es 4 * 8 – 5 * 7 = 32 – 35 = -3.

Evaluación del determinante

Ahora que tenemos los determinantes de nuestras matrices menores, ahora podemos conectarlos a nuestra ecuación determinante original para encontrar nuestra respuesta.

El determinante de nuestra matriz de 3 x 3 es 0. ¡Hemos terminado!

¿Ves que simplemente estamos repitiendo el mismo patrón una y otra vez? Podemos aplicar este patrón a cualquier tamaño de matriz cuadrada.

Resumen de la lección

Ahora, repasemos lo que hemos aprendido. Hemos aprendido que el determinante es un número especial calculado a partir de una matriz cuadrada. Las matrices cuadradas tienen forma cuadrada y tienen el mismo número de filas que de columnas. Las matrices de orden superior son matrices que son mayores que 2 x 2. Entonces, 3 x 3, 4 x 4 y así sucesivamente son todas matrices cuadradas de orden superior.

El símbolo del determinante son las barras de valor absoluto. El proceso de encontrar el determinante consiste en trabajar desde la fila superior. Primero tomamos el primer número en la fila superior, cancelamos mentalmente todos los números en la misma fila y columna que ese número, y luego multiplicamos lo que queda con ese número.

Repetimos este proceso con el resto de números de la fila superior. La fila superior también sigue un patrón positivo y negativo. El primer número siempre es positivo, el siguiente es negativo y luego se repite. Entonces, el determinante de una matriz de 2 x 2 con 1 y 2 en la fila superior y 3 y 4 en la fila inferior es 1 * 4 – 2 * 3 = 4 – 6 = -2.

Para matrices más grandes, terminará con matrices menores, matrices más pequeñas después de cancelar su fila y columna. Después de hacer la primera ronda de cálculos de determinantes, regresa y encuentra el determinante de estas matrices menores. Sigues repitiendo este proceso una y otra vez hasta que llegas al punto en el que te quedas solo con números. Luego terminas de evaluar, ¡y listo!

Los resultados del aprendizaje

Al completar esta lección, podrá:

• Discutir determinantes, matrices de orden superior y matrices menores.
• Explica el proceso para encontrar el determinante.