Cómo los cambios en las dimensiones afectan el área y el perímetro

Definición de dimensión, área y perímetro

Una de las primeras cosas que aprendemos en matemáticas es cómo calcular el área y el perímetro de una figura. Por ejemplo, podemos encontrar el área de un rectángulo multiplicando su largo por su ancho. Podemos encontrar el perímetro de un círculo multiplicando su diámetro por π. Entonces, ¿qué pasa si modificamos una de las dimensiones? ¿Cómo afecta eso al cálculo? En esta lección, exploraremos cómo las dimensiones individuales afectan el perímetro y el área generales, y cómo pequeños cambios en algunos puntos pueden marcar una gran diferencia en los resultados.

Primero que nada, algunas definiciones. Una dimensión es una de las características medibles que determinan la forma de la figura. Puede ser la longitud de uno de los lados de un polígono (una figura con lados rectos) o el radio de un círculo. Puede ser la altura de un triángulo o de una figura tridimensional, como un cubo o una pirámide. Ya sea largo, ancho, alto u otra cosa, una dimensión proporciona un buen punto de partida para examinar otras propiedades de una figura.

El perímetro es una medida de la distancia a lo largo del borde exterior de la figura. Podemos encontrar el perímetro de una figura combinando sus dimensiones exteriores. Por ejemplo, el perímetro de un rectángulo se encuentra duplicando la longitud, duplicando el ancho y luego sumando los dos. Puedes encontrar el perímetro de un octágono regular (figura de 8 lados con lados iguales) multiplicando la longitud de uno de los lados por 8.

El área de una figura es la medida de cuán grande es su superficie. El área se da en unidades cuadradas, como pulgadas cuadradas o millas cuadradas, y generalmente se determina mediante cálculos que implican multiplicar las dimensiones de la figura. Por ejemplo, el área de un círculo se determina multiplicando su radio (distancia del centro al borde exterior) por el radio nuevamente y luego por π (aproximadamente 3,14). El área de un cuadrado se calcula multiplicando la longitud de uno de sus lados por esa longitud nuevamente. El área de la superficie de un cubo se calcula multiplicando el área de una de sus caras (un cuadrado) por 6. En cada caso, el resultado es una medida del tamaño de la superficie de la figura.

Efecto en el perímetro cuando cambian las dimensiones

Entonces, ¿qué sucede cuando las dimensiones comienzan a cambiar? Puede averiguarlo observando cómo la ecuación usa esa dimensión. Por ejemplo, digamos que tiene un pentágono irregular (figura de 5 lados con lados rectos que no tienen la misma longitud) y desea saber cómo cambiará el perímetro si corta una pulgada de uno de los lados.

Bueno, la fórmula es simple: perímetro P = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 , donde cada uno de los términos S representa la longitud de uno de los lados. Si acorto S 1 pulgada, ¿cómo afectará eso a P ? Un breve vistazo a la fórmula nos dice que P también se acortará una pulgada.

¿Qué pasa si reduzco la longitud de un rectángulo en una pulgada? La fórmula para el perímetro de un rectángulo es P = 2 L + 2 W . Observe que nuestro término de longitud L se multiplica por 2, por lo que el perímetro perderá dos pulgadas cuando acortemos L una pulgada.

Bien, ahora vamos a volver a nuestro pentágono, pero vamos, hoy es un pentágono regular, donde todos los lados tienen la misma longitud L . La ecuación ahora es P = 5 L , lo que significa que si cortamos una pulgada de L , ¡estamos reduciendo el perímetro de ese pentágono en cinco pulgadas! Al observar la fórmula del perímetro, puede ver cómo un cambio en una dimensión afecta el perímetro de la figura.

Efecto en el área cuando cambian las dimensiones

De manera similar, puede saber cómo un cambio en una dimensión afectará el área de una figura mirando la fórmula. Tienes que tener cuidado con el área, porque es una medida de una superficie, no solo la longitud de una línea. Esto significa que a menudo tendrá dimensiones cuadradas (dimensiones que se multiplican por sí mismas) o dimensiones que se multiplican juntas.

Por ejemplo, el área de un círculo está dada por la fórmula A = π R ². En esta fórmula, la dimensión del radio R se eleva al cuadrado. Entonces, si cambio R , alteraré el área de la figura por el cuadrado de la cantidad que la cambie. Si doblo R para que sea 2 R , el área de mi círculo ahora se convierte en A = π (2 R ) ² = 4πR²

Al duplicar la dimensión R , cambiaré el área en un factor de 4 (¡será cuatro veces más grande)! Tenga en cuenta que este mismo cambio en el radio solo cambiaría el perímetro del círculo original (2π R ) por un factor de 2: cambiar una dimensión a menudo tendrá un efecto mayor en el área de la figura que en su perímetro.

Incluso cuando las dimensiones no se cuadran en una fórmula de área, es posible que se multipliquen juntas, por lo que un cambio en una dimensión puede tener un efecto significativo en el área. Por ejemplo, el área de un rectángulo se puede calcular usando A = LW , donde la longitud L se multiplica por el ancho W . Esto significa que si reduzco L por 2, que en realidad se reducirá el área por dos veces la anchura W , ya que ( L – 2) W = LW – 2 W .

Resumen de la lección

Cambiar una de las dimensiones , como la longitud o el ancho, de una figura puede tener un impacto significativo en el perímetro de la figura (longitud total del borde) y su área (tamaño de la superficie). Puede determinar cuál será el efecto observando las fórmulas de perímetro y área de cualquier figura para calcular el tamaño del resultado. Cambiar una dimensión a menudo tendrá un efecto mayor en el área de la figura que en su perímetro.