Cómo resolver integrales mediante sustitución

Cuando intentas encontrar una integral definida o indefinida, es posible que las cosas no sean particularmente claras y no puedas simplemente buscarlo en una tabla todo el tiempo. Para encontrar la integral, o el área debajo de la curva, necesita algunas herramientas más.

Los pasos para usar la sustitución para resolver integrales

Revisión de la regla de la cadena

La primera herramienta es la regla de la cadena . Recuerde que si tenemos una derivada de una función compuesta como d / dx ( f (g (x) )), a veces la escribimos como d / dx ( f (u) ), donde u es g (x) , entonces u es una función de x . A continuación, se convierte en su derivado f`u * du / dx , que es igual a f ‘( u ) u ‘. Entonces, tomamos la derivada de la función externa y la multiplicamos por la derivada de la función interna.

También sabemos que usa la regla de la cadena para derivadas siempre que vea paréntesis , así como para funciones compuestas . Una función compuesta es como cuando tomas un poco de carne y la pones en una función para hacer una hamburguesa. Luego pones esa hamburguesa en una función para hacer una hamburguesa. Así que pones la función para hacer una hamburguesa en la función para hacer una hamburguesa. Pones carne y sacas una hamburguesa. ¿Cómo se relaciona esto con la integración?

Bueno, si mediante el uso de la regla de la cadena se escribe d / dx * f (u) = f ‘( u ) u `e integrar ambos lados, se termina con la integral de ( f ‘ ( u ) u ‘) dx = f (u) . Entonces esto es igual a nuestra función original. Hmm, ¿qué significa esto? Esto significa que puede resolver mediante algo llamado sustitución.

Resolver el primer problema de ejemplo de sustitución de u

Resolver por sustitución de U

Vamos a sustituir algo por la función interna en nuestra función compuesta. Dejame explicar. Vas a tomar una integral f ( g (x) ), que es una función compuesta, multiplicada por g` (x) (la derivada del interior, la función ‘formadora de empanadas’), multiplicada por dx . Eso es igual a la anti-derivada de su función evaluada en g (x) , o F ( g (x) ). Y si esto es una integral indefinida, que va a añadir una constante de integración, C .

Entonces como haces esto? Primero, va a hacer lo que se llama una sustitución , y va a decir que hay alguna función, u , que es igual a g (x) . Entonces vas a tomar la derivada de u , eso es du , que es igual a g` (x) dx . Una vez que haya hecho la sustitución, encontrará la anti-derivada de su función f . Finalmente, una vez que tenga la anti-derivada, va a sustituir u nuevamente en su función y eso debería darle la integral de su función original. Asegúrate de comprobarlo. Entonces, ¿Qué significa todo esto? Hagamos un ejemplo.

Ejemplos de sustitución de U

Digamos que tenemos la integral de 3 e ^ 3 x * dx . Aquí hay algunos paréntesis implícitos, alrededor del 3 x . Así que voy a sustituir mi variable u por 3 x , u = 3 x . Luego tomaré la derivada de u , diferenciando esto con respecto a x , y escribiré du = 3 dx . Luego voy a usar estas dos sustituciones en mi integral original. Entonces tengo la integral 3 e ^ (3 x ) dx , que puedo reescribir como la integral de e ^ (3 x) 3 dx . Bueno, 3 dx es igual a du , ye ^ (3 x ) es lo mismo que e ^ u , porque u = 3 x ; así lo definí yo.

Comprobación de la respuesta en el primer problema de ejemplo de sustitución de u

Entonces mi nueva función es e ^ u , y estoy integrando con respecto a u ahora. Realmente hagamos esa integral. La integral de e ^ u * du es sólo e ^ u + alguna constante C . Tenemos nuestra constante porque esta es una integral indefinida, y tenemos e ^ u porque sé que la derivada de e ^ u es e ^ u y la integral de e ^ u es e ^ u. Es esa función que nunca cambia. Bien, ahora tengo todo en términos de ti . Vamos a deshacernos de la U sustituyendo u = 3 x en esta ecuación, y consigo e ^ (3 x ) + C . Mediante el uso de lo que se llama u sustitución, he resuelto la integral de 3 e ^ (3 x ) dx como e ^ (3 x ) + C . Pero antes de seguir adelante y decir que esto es correcto, verifiquemos la respuesta.

Comprobación de sustitución de U

Tomemos la derivada de e ^ (3 x ) + C . Así d / dx ( e ^ (3 x ) + C ) es igual a la derivada de e ^ (3 x ) + el derivado de C . La derivada de una constante es 0. Para la derivada de e ^ (3 x ) tengo que usar la regla de la cadena. Entonces obtengo la derivada del exterior, e ^ (3 x ), multiplicada por la derivada del interior, d / dx (3 x ). Si tomo esa derivada, obtengo 3 y termino con 3 e^ (3 veces ). Lo que obtuve al tomar la derivada del lado derecho es igual a mi función en el lado izquierdo, dentro de la integral, mi integrando. ¡Eso es bueno! Si no fuera la misma función, eso significaría que metí la pata en alguna parte. Esta es una buena señal.

Probemos con otro. Probemos la integral de sin (3 x ). Entonces tengo paréntesis alrededor de 3 x . Sustituyamos u , entonces u = 3 x . Si u = 3 x , entonces la derivada de u , que voy a llamar du , es igual a 3 dx . Ahora no tengo 3 dx en mi ecuación original para sustituir, así que voy a resolver la ecuación de dx dividiendo ambos lados por 3. Obtengo dx = 1/3 ( du ). Conectemos eso para dx en mi ecuación original, y conectemos u para 3x . Ahora puedo integrar esto. Es solo 1/3 de la integral de sin ( u ) du . La integral del seno de algo es simplemente el coseno menos, por lo que esta integral se convierte en 1/3 (-cos ( U )) + C . Si conecto lo que tenía para ti para deshacerme de todos mis u s, termino con 1/3 (-cos (3 x )) + C – porque esta es una integral indefinida que voy a hacer asegúrese de agregar la constante al final. Y he resuelto la integral: sin (3 x ) dx = -1/3 (cos (3 x )) + C .

Encontrar la respuesta en el problema de ejemplo final

Vamos a comprobarlo. Tomemos el derivado de -1/3 (cos (3 x )) + C . Obtengo -1/3 * d / dx (cos (3 x )) + 0, porque la derivada de una constante es 0. Voy a tener que usar la regla de la cadena y obtengo -1/3 (- sin (3 x )), que es la derivada de la función exterior, multiplicada por la derivada, d / dx , de 3 x . La derivada de 3 x es solo 3, por lo que termino cancelando los 3, sin (3 x ). Eso coincide con mi integrando inicial, por lo que parece que no me equivoqué.

Resumen de la lección

Para estas sustituciones más pequeñas, todo lo que hicimos fue tomar la regla de la cadena al revés. Sustituimos u para nuestra función interna, y escribimos du como la derivada de u veces dx . Entonces u = g (x) , esa es nuestra función interna, y du es g ` dx . Luego encontramos la anti-derivada de nuestra nueva función que dependía de u , f (u) . Una vez que encontramos eso, conectamos u = g (x) nuevamente en nuestra anti-derivada para encontrar la anti-derivada de nuestra función original con respecto a x. Finalmente, verificamos todo para asegurarnos de que si tomamos la derivada de nuestro resultado, terminamos con el integrando de nuestra integral original.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador